שאלה
א. נתונות שתי סדרות הנדסיות אינסופיות: . . . .b1,b2,b3 ו- . . . . a1,a2,a3
מנת הסדרה האחת היא q1 ומנת הסדרה השנייה היא q2 , נסמן:
... +M = a1b1+ a2b2 + a3b3+..., K = b1+b2+b3+ ... ,S=a1+a2+a3.
נתון:S⋅K=M.
הוכח: q1+ q2 =2q1q2.
ב. בסדרה חשבונית האיבר התשיעי גדול פי 4 מהאיבר הראשון. אם מחלקים את האיבר השישי באיבר השני מקבלים 2 ושארית 1. מצא את האיבר הראשון ואת הפרש הסדרה.
הערה: אין קשר בין סעיף א לסעיף ב.
פתרון סעיף א
סכומי הסדרות ההנדסיות בשאלה הוא סופי ,S, K, לכן אלו סדרות הנדסיות שסכומן מתכנס.
סכום סדרה הנדסית אינסופית שסכומה S מתכנס , ושאיברה הראשון a1 ומנתה q הוא:
S = a1 / (1 - q)
(1) סכומי הסדרות S, K :
S = a1 / (1- q1)
K = b1 / (1 - q2)
הסדרה M הנה סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת:
הפרשה שסמנו q3:
q3 = a2b2/(a1b1) = a1q1b1q2/(a1b1) = q1q2.
(2) סכום הסדרה M :
M = a1b1 / (1-q1q2)
(3) נתון:
S*K = M
נציב את (1) ו- (2) ב- (3):
a1 / (1- q1) * b1 / (1 - q2) = a1b1 / (1-q1q2)
1/[(1-q1)(1-q2) = 1/(1-q1q2)
1-q1q2 = (1-q1)(1-q2)
1-q1q2 = 1 - q1 - q2 +q1q2
קיבלנו הנדרש להוכיח:
q1 + q2 = 2q1q2
פתרון סעיף ב
נסמן ב- a1 את האיבר הראשון בסדרה, וב- d את הפרש הסדרה.
(3 ) האיבר התשיעי גדול פי 4 מהאיבר הראשון, לכן:
a9 = 4a1
a1 + 8d = 4a1
3a1 = 8d
(4) אם מחלקים את האיבר השישי באיבר השני מקבלים 2 ושארית 1, כלומר:
a6 / a2 = 2 +1/a2
(a1 + 5d) / (a1 + d) = 2 + 1/(a1 + d)
a1 + 5d = 2(a1 + d) +1
a1 + 5d = 2a1 + 2d +1
a1 - 3d = -1
מ- (3) ו- (4) קיבלנו 2 משוואות בשני נעלמים:
3a1 = 8d
a1 - 3d = -1
3a1 - 8d = 0
-3a1 + 9d = 3
d = 3
a1 = 3d - 1 = 8
התוצאה המבוקשת:
a1 = 8 , d = 3
אין תגובות:
הוסף רשומת תגובה