שאלה
בציור שלפניך מוצגות סקיצות של שני גרפים: גרף I וגרף II .
אחד הגרפים הוא הגרף של פונקציית הנגזרת (f '(x , והגרף האחר הוא הגרף של פונקציית הנגזרת השנייה f"(x).
א.איזה גרף הוא של (f'(x, ואיזה גרף הוא של (f"(x? נמק.
ב. מצא את שיעורי ה- x של נקודות הקיצון של הפונקציה (f(x. נמק.
ג. מצא את שיעורי ה- x של נקודות הפיתול של הפונקציה (f (x . נמק.
ד. הוכח שהשטח המוגבל על ידי גרף II וציר ה- x (השטח המקווקו בציור) שווה לשטח המוגבל על ידי גרף II והצירים (השטח המנוקד בציור).
פתרון
א. הגרף של f'(x) הוא גרף 1.ניתן לראות שכאשר פונקציה אחדת היא בנקודת מקסימום x = 0.4 , הפונקציה 2 מקבלת ערך 0.
ניתן בנוסף לראות שכאשר פונקציה 1 בנקודות מינימום x = 1, -0.6 , פונקציה 2 מתאפסת.
הסיבה לכך היא שבנקודות קיצון של פונקציה 1, שבהן השיפוע של הפונקציה הוא 0, גרף הנגזרת, פונקציה 2 שווה 0.
ב. שיעורי ה- x של נקודות הקיצון של הפונקציה (f(x.
בסעיף א לעיל קבענו כי גרף 1 הוא הגרף של f'(x) . הנקודות בהן f'(x) = 0 , הן נקודות x בהן ל- f(x) יש נקודת קיצון מאחר ובנקודת קיצון השיפוע של f(x) שווה ל- 0, ו- f'(x) מציין את ערכי השיפוע של f(x) .
לכן שיעורי נקודות הקיצון של f(x) הן הנקודות בהן f'(x) = 0 שהן: x = 1, 0 , -1 .
ג. שיעורי ה- x של נקודות הפיתול של הפונקציה (f (x
נקודת פיתול של פונקציה היא נקודה שבה הפונקציה הופכת מקמורה לקעורה, או להפך. מכאן שהנקודות ה"חשודות" כנקודות פיתול הן אלו שבהן הנגזרת השנייה אינה מוגדרת, או שהיא מתאפסת. בהתאמה ניתן לזהות נקודת פיתול לפי הנקודה שבה יש נקודת קיצון לפונקציית הנגזרת הראשונה.
לפיכך נקודות פיתול של f(x) הן נקודות בהן f'(x) היא בנקודת קיצון או f''(x) = 0.
נקודות הקיצון אפוא הן עבור x = 1, 0.4 , -0.6 .
ד. השטח המוגבל על ידי גרף II וציר ה- x (השטח המקווקו בציור) שווה לשטח המוגבל על ידי גרף II והצירים (השטח המנוקד בציור)
השטח המוגבל סך הכל הוא השטח הכלוא בין גרף פונקציה f''(x) בין הנקודות x = 0, 1. שטח זה שווה לאינטגרל של f''(x) בין הנקודות x = 0, 1. או f'(1) - f'(0) = 0 - 0 = 0.
מאחר ויש שטח מוגבל מעל ציר x שהוא חיובי ושטח מוגבל מתחת לציר x שהוא שלילי, על מנת שסכום השטחים יהיה 0 חייב כי השטח החיובי שווה בערכו המוחלט לשטח השלילי ולכן השטחים שווים בערכם המוחלט.
אין תגובות:
הוסף רשומת תגובה