חקירת פונקציה טריגונומטרית - מבגרות קיץ 2009

שאלה

נתונה הפונקציה  f(x) = x - ½sin(2x)

א.הראה כי (f'(x) = 2sin²(x.

ב. (1) האם לפונקציה f(x) יש נקודות קיצון? נמק.

(2) האם לפונקציה f(x) יש נקודות פיתול? נמק.

ג. בציור שלפניך מוצג הגרף של הפונקציה g(x) = x + sin²x בתחום  π ≤ x ≤ π- .

בתחום הנתון מצא את כל השטח המוגבל על ידי הגרף של  g(x) ועל ידי הישר y = x.

פתרון

א. נגזור את הפונקציה   f(x) = x - ½sin(2x)

 f(x) = x - ½sin(2x)

f'(x) = 1 - ½ ᐧ 2 ᐧ cos(2x) = 1 - cos(2x) =  1 - ( 1 - 2sin²x) = 2sin²x

f'(x) = 2 ᐧ sin²(x)

ב. (1) האם  לפונקציה f(x) יש נקודות קיצון?

לבדיקה האם ל- f(x) יש נקודות קיצון , נבדוק את הנגזרת  f'(x) = 2 ᐧ sin²x .  בדיקת הנגזרת מעלה כי היא תמיד חיובית או 0, כלומר לעולם לא שלילית. בנקודת קיצון הנגזרת של הפונקציה חייבת לעבור מסימן חיובי לשלילי או להיפך. לכן ל-  f(x) אין נקודות קיצון.

(2) האם לפונקציה f(x) יש נקודות פיתול

במתמטיקה , נקודת פיתול של פונקציה היא נקודה שבה הפונקציה הופכת מקמורה לקעורה, או להפך . משפט: אם הפונקציה f גזירה פעמיים בנקודת פיתול x0, אז  f''(x0) = 0.

נבדוק עבור אילו ערכים של x הנגזרת השניה של f(x) מקבלת ערך 0.

f'(x) = 2 ᐧ sin²x

f''(x) = 2ᐧ 2*sin(x) ᐧ cos(x) = 2sin(2x)

 

הפונקציה sin(2x)  מקבלת ערך 0 עבור 2x = 180k או x = 90k עבור k שלם ממינוס אינסוף עד אינסוף.

לכן לפונקציה f(x) יש אינסוף נקודות פיתול,  x = 90k עבור k שלם ממינוס אינסוף עד אינסוף.

ג. השטח המוגבל בין g(x) ועל ידי הישר y = x.

 השטח המוגבל S בין פונקציה כלשהי f(x) לציר x בתחום כלשהו a, b נתון במשוואה:

        x=b

 S = ∫ f(x) ᐧ dx

       x=a

השטח המוגבל בין 2 פונקציות הוא ההפרש השטחים של שבין הפונקציות לציר  x. לכן השטח S המוגבל בין פונקציות f(x) , g(x) הוא בתחום a, b:

 S = ∫ f(x) ᐧ dx - ∫ g(x) ᐧ dx = ∫ [f(x) - g(x)] ᐧ dx

לכן השטח המוגבל על ידי הגרף של g(x) = x + sin²x ועל ידי הישר y = x בתחום  π ≤ x ≤ π- :

        x = π

 S = ∫ (x + sin²x - x) ᐧ dx = ∫  sin²x ᐧ dx = [ x/2 - ¼sin(2x)] ᐧ dx = 

        x = -π

האינטגרל של sin²x חושב לפי מה שהוכח בסעיף א לעיל.

S =  π / 2 -  (-π)/2 =  π