שאלה
ההסתברות שחנן יקלע בניסיון הראשון היא 4/5.
ההסתברות שחנן יקלע בניסיון השני תלויה בתוצאה של הניסיון הראשון:
אם חנן קולע בניסיון הראשון, ההסתברות שהוא יקלע בניסיון השני היא 3/4.
אם חנן מחטיא בניסיון הראשון, ההסתברות שהוא יקלע בניסיון השני היא 3/5.
לחנן יש שני ניסיונות קליעה למטרה.
א. מהי ההסתברות שחנן החטיא בניסיון הראשון וקלע בניסיון השני?
ב. (1) מהי ההסתברות שחנן קלע פעם אחת לפחות?
(2) ידוע שחנן קלע פעם אחת לפחות.
מהי ההסתברות שהוא קלע פעם אחת בדיוק?
גם לדני יש שני ניסיונות קליעה למטרה.
ההסתברות שדני יקלע בכל אחד מן הניסיונות היא p .
נתון כי ההסתברות שדני יקלע פעם אחת בדיוק שווה להסתברות שחנן יקלע פעם אחת בדיוק.
ג. מצאו את p (את שתי האפשרויות).
פתרון
נתאר את הבעיה בצורה טבלאית.
A - מאורע חנן קולע בניסיון ראשון.
B - מאורע חנן קולע בניסיון השני.
נתון:
p(A) = 4/5
p(A') = 1/5
p(B/A) = 3/4
p(B/A') = 3/5
A' - הוא מאורע משלים של A.
הסתברויות | ניסיון ראשון | ניסיון שני |
קולע | 4/5 | 3/4 |
מחטיא | 1/5 | 3/5 |
א. ההסתברות שחנן החטיא בניסיון הראשון וקלע בניסיון השני
נדרש למצוא את p(B∩A')
p(B∩A') = p(A') * p(B/A') = (1/5) * (3/5) = 3 / 25
ההסתברות שחנן החטיא בניסיון הראשון וקלע בניסיון השני היא 3/25
ב. (1) ההסתברות שחנן קלע פעם אחת לפחות
נדרש למצוא את ההסתברות המשלימה לכך שחנן החטיא בשני המקרים
1 - p(B'∩A') =
ההסתברות שחנן מחטיא בפעם השניה אם ידוע שהחטיא בראשונה הוא המשלים להסתברות שקלע בשניה אם החטיא בראשונה.
p(B'/A') = 1 - 3/5 = 2/5
p(B'∩A') = p(A') * p(B'/A') = (1/5) * (2/5) = 2 /25
1 - p(B'∩A') = 1- 2/25 = 23 /25
ההסתברות שחנן קלע פעם אחת לפחות היא 23/25.
ב. (2) ההסתברות שחנן קלע פעם אחת בדיוק
ההסתברות שחנן קלע פעם אחת בדיוק היא סכום ההסתברות שקולע בראשונה ומחטיא בשניה וההסתברות שמחטיא בראשונה וקולע בשניה.
p = (4/5)ᐧ(1/4) + (1/5)ᐧ(3/5) = 4/20 + 3/25 = 8 / 25
ג. חישוב p
נפתור באותה דרך כפי שחישבנו את p עבור חנן בסעיף ב. (2).
נתון כי ההסתברות שדני יקלע פעם אחת בדיוק שווה להסתברות שחנן יקלע פעם אחת בדיוק.
כלומר:
p(1-p) + (1-p)p = 8 / 25
2p - 2p² = 8 / 25
p² - p + 4/25 = 0
p 1,2 = [1± sqrt(1 - 16/25)]/2 = [1±(3/5)]/2 = 1/5 , 4/5
ההסתברות שדני יקלע פעם אחת היא (שני פתרונות) 1/5 או 4/5.
אין תגובות:
הוסף רשומת תגובה