שאלה
נתונה סדרה חשבונית בעלת מספר זוגי של איברים. סכום האיברים במקומות הזוגיים בסדרה הוא 174, וסכום האיברים במקומות האי-זוגיים הוא 150.
האיבר האחרון בסדרה פחות האיבר הראשון שווה 44.
א. מצא את האיבר הראשון בסדרה ואת הפרשה.
מוסיפים לסדרה איבר נוסף אחרי האיבר האחרון.
ב. מצא מהו האיבר שהוסיפו ומהו האיבר האמצעי בסדרה.
מכפילים איברים במקומות הזוגיים בסדרה ב- (1-) .
ג. האם הסדרה החדשה שהתקבלה היא סדרה חשבונית? מצא את סכומה.
פתרון
א. האיבר הראשון בסדרה והפרשה
אפשר לראות את הבעיה כ - 3 סדרות חשבוניות. הסדרה המקורית בעלת n איברים ואיבר ראשון a1 והפרש d. סדרת האיברים במקומות האי זוגיים והזוגיים בעלות מספר איברים איבר ראשון והפרש על פי הטבלה:
סדרה | איבר ראשון | מספר איברים בסדרה | הפרש |
מקורית | a1 | n | d |
איברים במקומות זוגיים | a1 + d | n / 2 | 2d |
איברים במקומות איזוגיים | a1 | n / 2 | 2d |
נפתח 3 משוואות על פי נתוני השאלה:
סכום האיברים במקומות הזוגיים בסדרה הוא 174 = SE
SE = n / 2 ᐧ [2 ᐧ (a1 + d) + 2d ᐧ (n / 2 - 1)] / 2 = 174
סכום האיברים במקומות הזוגיים בסדרה הוא 150 = SO
SO = n / 2 ᐧ [2 ᐧ a1 + 2d ᐧ (n / 2 - 1)] / 2 = 150
האיבר האחרון בסדרה פחות האיבר הראשון שווה 44.
a1 + d ᐧ (n - 1) - a1 = 44
נפשט המשוואות:
SE = n / 2 ᐧ [(a1 + d) + d ᐧ (n / 2 - 1)] = n / 2 ᐧ (a1 + d) + n / 2 ᐧ d ᐧ (n / 2 - 1)] = 174
SO = n / 2 ᐧ [ a1 + d ᐧ (n / 2 - 1)] = n / 2 ᐧ a1 + n / 2 ᐧ d ᐧ (n / 2 - 1)] = 150
d ᐧ (n - 1) = 44
נפחית משוואת שניה מראשונה:
SE - SO = n / 2 ᐧ d = 24. ==> d ᐧ n = 48
d ᐧ (n - 1) = d ᐧ n - d = 44
d ᐧ n - d = 48 - d = 44
d = 4
מספר האיברים בסדרה n :
n = 48 / d = 48 / 4 = 12
n = 12
למציאת האיבר הראשון בסדרה a1 נציב במשוואת סכום האיברים במקומות האי זוגיים:
SO = n / 2 ᐧ [ a1 + d ᐧ (n / 2 - 1)] = 12 / 2 ᐧ [a1 + 4 ᐧ (12 / 2 - 1)] = 150
SO = 6 ᐧ ( a1 + 20) = 150
a1 = 5
ב. האיבר שהוסיפו בסוף הסדרה והאיבר האמצעי:
בסעיף א קיבלנו סדרה שאיברה הראשון 5 = a1 והפרשה 4 = d בעלת 12 איברים מהצורה:
5 , 9 , 13 , 17 , 21 ....
נוסיף איבר בסוף הסדרה ונקבל סדרה בת 13 איברים , שאיברה הראשון 5 = a1 והפרשה 4 = d.
נמצא את האיבר ה - 7 בסדרה שהוא האיבר האמצעי, ואת האיבר ה - 13 שהוא האיבר האחרון שהוספנו:
האיבר האמצעי בסדרה a7 :
a7 = 5 + 4 ᐧ (7 - 1) = 5 + 4 ᐧ 6 = 5 + 24 = 29
a7 = 29
a13 = 5 + 4 ᐧ (13 - 1) = 5 + 4 ᐧ 12 = 5 + 48 = 53
a13 = 53
ג. האם הסדרה החדשה חשבונית? מציאת סכום הסדרה
מכפילים איברים במקומות הזוגיים בסדרה ב- (1-) .
ומקבלים סדרה חדשה:
5 , -9 , 13 , -17 , 21 , -25 , 29 , -33 , 37
נבדוק האם הסדרה חשבונית:
a2 - a1 = -9 - 5 = -14
a3 - a2 = 13 - (-9) = 22
ניתן לראות כי הפרש הסדרה אינו קבוע ולכן הסדרה אינה חשבונית.
סכום הסדרה
ניתן לראות כי הסדרה מורכבת משתי סדרות חשבוניות. סדרה אחת של האיברים במקומות האי זוגיים, וסדרה שניה של האיברים במקומות הזוגיים.
סדרה | איבר ראשון | מספר איברים בסדרה | הפרש הסדרה |
איברים במקומות זוגיים | 9- | 7 | 8- |
איברים במקומות איזוגיים | 5 | 6 | 8 |
מאידך ניתן לראות כי סדרת האיברים במקומות האי זוגיים חשבונית שאיברה הראשון הוא 5, הפרשה 8, ומספר האיברים 7.
לכן סכום האיברים במקומות האי זוגיים הוא:
SO = 7 ᐧ [2 ᐧ 5 + 8 ᐧ (7 - 1)] / 2 = 7 ᐧ (10 + 8 ᐧ 6) = 7 ᐧ 58 = 406
באופן דומה ניתן לראות כי סדרת האיברים במקומות הזוגיים חשבונית שאיברה הראשון הוא 9-, הפרשה 8-, ומספר האיברים 6.
SE = 6 ᐧ [2 ᐧ (-9) + (-8) ᐧ (6 - 1)] / 2 = 6 ᐧ (-18 - 8 ᐧ 5) = 6 ᐧ (-58) = -348
SO + SE = 406 - 348 = 58
סכום הסדרה בסעיף ג הוא 58.
אין תגובות:
הוסף רשומת תגובה