סדרה המקיימת את כלל נסיגה - מבגרות מתמטיקה 5 יחידות.

 שאלה

נתונה סדרה מקיימת את כלל הנסיגה: an+1 = 6n - 1 - an  , a1 = k

א. 1) הבע בעזרת k את האיברים  a2 , a3 , a4 , a5 .

2) הוכח כי לכל n טבעי, הסדרות  . . . . a1 , a3 , a5 , a7,  a9 , a11  ו- . . . . a2 , a4, a6 , a8 , a10 

הן סדרות חשבוניות.

3) מצא את הערך של k עבורו גם הסדרה . . . .  a1 , a2 , a3 , a4 , a5,  a6 היא סדרה חשבונית.

ב. בסדרה זו ישנם  4n - 1 איברים. סכום 2n האיברים האחרונים בסדרה גדול ב- 1140 מסכום 2n האיברים הראשונים בסדרה.

1) מצא את מספר איברי הסדרה.

2) חשב את סכום האיברים שנמצאים במקומות האי זוגיים בסדרה.


פתרון

נתונה סדרה מוגדרת בצורת נסיגה:

an+1 = 6n - 1 - an

א.(1) חמשת האיברים הראשונים בסדרה

a1 = k

עבור n = 1

a= 6 ᐧ 1 - 1 - a= 5 - k

עבור n = 2

a3 = 6 ᐧ 2 - 1 - a2 = 11 - (5-k) = 6 + k

a4 = 6 ᐧ 3 - 1 - a3 = 17 - (6 + k) = 11 - k

a5  = 6 ᐧ 4 - 1 - a4  = 23 - (11 - k) = 12 + k

(2) הסדרות במקומות הזוגיים או האי זוגיים הן חשבוניות.

נוכיח כי הפרש בין 2 איברים עוקבים במיקום הפרש שניים הוא קבוע, כלומר:

an+2 - an = d

an+1 = 6n - 1 - an

an+2 = 6(n+1) - 1 - an+1

an+2 - an = [6(n+1) - 1 - an+1] - an = [6(n+1) - 1 - (6n - 1 - an)] - a

= 6n + 6 - 1 - 6n + 1 + a- a= 6

ניתן לראות כי הפרש בין 2 איברים בסדרה נמצאים בהפרש מיקום 2 הוא 6. לכן הסדרות במקומות הזוגיים או האי זוגיים הן חשבוניות שהפרשן 6.

(3) הערך של k שעבורו הסדרה חשבונית

מאחר שהפרש הסדרות הזוית והאי זוית הוא 6. הפרש הסדרה עצמה צריך להיות 3 כדי שתהה חשבונית.

נבדוק ערך של kעבור איברים 1,2:

a2 - a1 = (5-k) - k = 3

5 - 2k = 3

2k = 2

k = 1

עבור  k = 1 הסדרה חשבונית שאיבריה:

1 , 4 ,  7 , 10 , 13 , 16....

ב. (1) מספר איברי הסדרה

בסדרה 4n - 1 איברים, שזהו מספר אי זוגי. לכן האיבר האמצעי בסדרה הוא במיקום 2n.

סכום 2n האיברים הראשונים:

a1 = 1

d = 3

S2n = 2n(2a1 + d(2n - 1)) / 2 = n(2 + 3(2n-1)) = n(2 + 6n -3) = n(6n - 1) = 6n2 - n

סכום 2n האיברים האחרונים:

a1 = a2n = a1 + d(2n - 1) = 1 + 3(2n - 1) = 1 + (6n - 3) = 6n - 2

d = 3

S2n = 2n(2a1 + d(2n - 1)) / 2 = n(2ᐧ(6n-2) + 3(2n-1)) = n(12n - 4 + 6n - 3) = n(18n-7) = 18n2 - 7n

נתון כי סכום 2n האיברים האחרונים בסדרה גדול ב- 1140 מסכום 2n הראשונים:

(18n2 - 7n ) - (6n2 - n) = 1140
12n2 - 6n - 1140 = 0 

n = 10, -9.5
הפתרון הnתאים הוא n = 10 .

בסדרה 4n - 1 איברים כלומר 4ᐧ10 - 1 = 39 , בסדרה 39 איברים

(2) סכום האיברים במקומות האי זוגיים:
a1 = 1
d = 6
n = 20

Sn = n(2a1 + d(n - 1)) / 2 = 20(2 +6(20 -1)) / 2 = 10(2 + 120 - 6) = 10 ᐧ 116 = 1160

סכום האיברים במקומות האי זוגיים בסדרה הוא 1160.

אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה