סדרה המקיימת את כלל נסיגה - מבגרות מתמטיקה 5 יחידות.

 שאלה

נתונה סדרה מקיימת את כלל הנסיגה: a_n+1 = 6n - 1 - a_n  , a₁ = k

א. 1) הבע בעזרת k את האיברים  a₂ , a₃ , a₄ , a_{5 .}

2) הוכח כי לכל n טבעי, הסדרות  . . . . a₁ , a₃ , a₅ , a₇,  a₉ , a₁₁  ו- . . . . a₂ , a₄, a₆ , a₈ , a₁₀ 

הן סדרות חשבוניות.

3) מצא את הערך של k עבורו גם הסדרה . . . .  a₁ , a₂ , a₃ , a₄ , a₅,  a₆ היא סדרה חשבונית.

ב. בסדרה זו ישנם  4n - 1 איברים. סכום 2n האיברים האחרונים בסדרה גדול ב- 1140 מסכום 2n האיברים הראשונים בסדרה.

1) מצא את מספר איברי הסדרה.

2) חשב את סכום האיברים שנמצאים במקומות האי זוגיים בסדרה.

פתרון

נתונה סדרה מוגדרת בצורת נסיגה:

a_n+1 = 6n - 1 - a_n

א.(1) חמשת האיברים הראשונים בסדרה

a₁ = k

עבור n = 1

a₂ = 6 ᐧ 1 - 1 - a₁ = 5 - k

עבור n = 2

a₃ = 6 ᐧ 2 - 1 - a₂ = 11 - (5-k) = 6 + k

a₄ = 6 ᐧ 3 - 1 - a₃ = 17 - (6 + k) = 11 - k

a₅  = 6 ᐧ 4 - 1 - a₄  = 23 - (11 - k) = 12 + k

(2) הסדרות במקומות הזוגיים או האי זוגיים הן חשבוניות.

נוכיח כי הפרש בין 2 איברים עוקבים במיקום הפרש שניים הוא קבוע, כלומר:

a_n+2 - a_n = d

a_n+1 = 6n - 1 - a_n

a_n+2 = 6(n+1) - 1 - a_n+1

a_n+2 - a_n = [6(n+1) - 1 - a_n+1] - a_n = [6(n+1) - 1 - (6n - 1 - a_n)] - a_n 

= 6n + 6 - 1 - 6n + 1 + a_n - a_n = 6

ניתן לראות כי הפרש בין 2 איברים בסדרה נמצאים בהפרש מיקום 2 הוא 6. לכן הסדרות במקומות הזוגיים או האי זוגיים הן חשבוניות שהפרשן 6.

(3) הערך של k שעבורו הסדרה חשבונית

מאחר שהפרש הסדרות הזוית והאי זוית הוא 6. הפרש הסדרה עצמה צריך להיות 3 כדי שתהה חשבונית.

נבדוק ערך של kעבור איברים 1,2:

a₂ - a₁ = (5-k) - k = 3

5 - 2k = 3

2k = 2

k = 1

עבור  k = 1 הסדרה חשבונית שאיבריה:

1 , 4 ,  7 , 10 , 13 , 16....

ב. (1) מספר איברי הסדרה

בסדרה 4n - 1 איברים, שזהו מספר אי זוגי. לכן האיבר האמצעי בסדרה הוא במיקום 2n.

סכום 2n האיברים הראשונים:

a₁ = 1

d = 3

S_2n = 2n(2a1 + d(2n - 1)) / 2 = n(2 + 3(2n-1)) = n(2 + 6n -3) = n(6n - 1) = 6n² - n

סכום 2n האיברים האחרונים:

a₁ = a_2n = a₁ + d(2n - 1) = 1 + 3(2n - 1) = 1 + (6n - 3) = 6n - 2

d = 3

S_2n = 2n(2a₁ + d(2n - 1)) / 2 = n(2ᐧ(6n-2) + 3(2n-1)) = n(12n - 4 + 6n - 3) = n(18n-7) = 18n² - 7n

נתון כי סכום 2n האיברים האחרונים בסדרה גדול ב- 1140 מסכום 2n הראשונים:

(18n² - 7n ) - (6n² - n) = 1140

12n² - 6n - 1140 = 0 

n = 10, -9.5

הפתרון הnתאים הוא n = 10 .

בסדרה 4n - 1 איברים כלומר 4ᐧ10 - 1 = 39 , בסדרה 39 איברים

(2) סכום האיברים במקומות האי זוגיים:

a₁ = 1

d = 6

n = 20

S_n = n(2a₁ + d(n - 1)) / 2 = 20(2 +6(20 -1)) / 2 = 10(2 + 120 - 6) = 10 ᐧ 116 = 1160

סכום האיברים במקומות האי זוגיים בסדרה הוא 1160.