הוכחת משפט פיתגורס ההפוך - אם במשולש סכום ריבועי שתי צלעות שווה לריבוע צלע שלישית אזי הזוית בין שתי הצלעות ישרה

נתון: משולש ABC שבו סכום ריבועי שתי צלעות (AC = b , BC = a) שווה לריבוע צלע שלישית, כלומר:
 
או


צריך להוכיח:


הוכחה:

השיטה: נבנה משולש DEF ישר זוית שניצביו שווים לצלעות a, b ונוכיח שמשולש DEF חופף למשולש ABC.

בניית עזר: בונים משולש ישר זוית DEF שבו DF = AC = b ,  BC = EF = a ,
בניית עזר - משולש ישר זוית שניצביו שווים לשתי צלעות המשולש ABC
בניית עזר - משולש ישר זוית שניצביו שווים לשתי צלעות במשולש ABC

 נוכיח שמשולשים DEF ו- ABC חופפים.

1:  b= AC = DF - נתון מבניית עזר
2: a =  BC = EF - נתון מבניית העזר


3: - נובע ממשפט פיתגורס במשולש DEF
 4: נובע מ- 1,2
5: - נתון
 6: - נובע מ- 3,4,5

7: AB = DE - נובע מ - 6

8: משולשים ABC, DEF חופפים - נובע מ- 1,2,7 לפי צ.צ.צ

מהחפיפה נובע: 
אך נתון מבניית עזר ש:

לכן

מ.ש.ל

אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה