הוכחת משפט פיתגורס ההפוך - אם במשולש סכום ריבועי שתי צלעות שווה לריבוע צלע שלישית אזי הזוית בין שתי הצלעות ישרה

משולש ABC

נתון: 

משולש ABC שבו סכום ריבועי שתי צלעות (AC = b , BC = a) שווה לריבוע צלע שלישית, כלומר:

AC² + BC² = AB²
 
או  a² + b² = c²

צריך להוכיח:    C = 90⁰⦩

הוכחה:

השיטה: נבנה משולש DEF ישר זוית שניצביו שווים לצלעות a, b ונוכיח שמשולש DEF חופף למשולש ABC.

בניית עזר: בונים משולש ישר זוית DEF שבו DF = AC = b ,  BC = EF = a ,

בניית עזר - משולש ישר זוית שניצביו שווים לשתי צלעות במשולש ABC

 נוכיח שמשולשים DEF ו- ABC חופפים.

1:  b= AC = DF - נתון מבניית עזר
2: a =  BC = EF - נתון מבניית העזר


3:  DF² + EF² = DE² - נובע ממשפט פיתגורס במשולש DEF

 4:  DF² + EF² = AC² + BC² נובע מ- 1,2

5:  AC² + BC² = AB²  - נתון

 6:  DE² = AB²  - נובע מ- 3,4,5

7: AB = DE - נובע מ - 6

8: משולשים ABC, DEF חופפים - נובע מ- 1,2,7 לפי צ.צ.צ

מהחפיפה נובע: 
אך נתון מבניית עזר ש:  F = 90⁰⦩

לכן  C = 90⁰⦩

מ.ש.ל