פתרון שאלה 2 - בגרות מתמטיקה 5 יח' - חורף 2016 -סדרה הנדסית עולה

מתוך מבחן בגרות מתמטיקה 5 יחידות חורף 2016

שאלה 2
























 פתרון שאלה 2

 סדרה הנדסית היא סדרה של מספרים, שהמנה של כל שני איברים עוקבים (או היחס בין כל שני איברים סמוכים) היא קבועה. נסמן את האיבר  הראשון ב- a1 והמנה בין שני איברים עוקבים ב- q.

 ע"פ נתוני השאלה ההפרש בין האיבר הרביעי בסדרה לשלישי גדול פי 4 מההפרש בין האיבר השני לראשון, כלומר:

או:
1:

בנוסף נתון כי האיבר השישי גדול ב- 31 מהאיבר הראשון, כלומר:
 או:
2
 משוואות 1,2 הן 2 משוואות עם 2 נעלמים a1, q , (האיבר הראשון בסדרה ומנתה).


 פתרון סעיף א

למציאת מנת הסדרה q נפשט משוואה 1 ונפתור:

מנת הסדרה היא q=2.
במהלך הפתרון שללנו אפשרות כי q=1 מאחר וזוהי סדרה הנדסית עולה ולכן צמצמנו את הביטוי q=1, מאותה סיבה שללנו הפתרון q= -2.

נציב את q במשוואה 2 ונמצא את a1:
 
 האיבר הראשון בסדרה a1 = 1



פתרון סעיף ב
(1)
בדיקת הסדרה הראשונה:
 

נסמן ב- An את האיבר ה- nי של הסדרה הראשונה A האיבר הראשון ו- Q המנה, ונחשב אותם:
 האיבר ה- nי של הסדרה הראשונה הינו:
כאשר an  הוא האיבר ה- nי של הסדרה ההנדסית העולה הנתונה בשאלה ושווה ל- an= a1 * q
נחשב את An כפונקציה של a1 , q:


אך


לכן הסדרה הראשונה היא סדרה הנדסית שאיברה הראשון, האיבר ה- nי שלה ומנתה הם:
 
האיבר הראשון בסדרה הוא A1 = 2
הסדרה היא עולה מאחר ומנתה Q גדולה מ- 0 :

בדיקת הסדרה השניה:


נפתור לפי אותה שיטה כפי שבדקנו הסדרה הראשונה:
נסמן ב- An את האיבר ה- nי של הסדרה הראשונה A האיבר הראשון ו- Q המנה, ונחשב אותם:
 האיבר ה- nי של הסדרה הראשונה הינו:
כאשר an  הוא האיבר ה- nי של הסדרה ההנדסית העולה הנתונה בשאלה ושווה ל- an= a1 * q
נחשב את An כפונקציה של a1 , q:

הסדרה השניה היא סדרה קבועה שכל איבריה שווים 4


(2)
נתון כי סכום ל האיברים בסדרה הראשונה שווה 2730.
 האיבר הראשון בסדרה הראשונה הוא: A1 =2 ומנתה Q =4
סכום סדרה הנדסית נתון בנוסחה:
 

 נציב ונקבל:


מספר האיברים בסדרה הראשונה הוא 6


(3)
הסדרה השניה היא סדרה קבועה שכל אחד מאיבריה שווה 4, לכן סכום n איבריה הוא 4n

אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה