סדרה חשבונית מבגרות 5 יחידות חורף 2020

 שאלה

an היא סדרה חשבונית .

k ו- p הם מספרים טבעיים k < p .

נתון: ak = p , ap = k

א. (1) הוכח שהפרש הסדרה an הוא 1- .
(2) הבע את a1 באמצעות k ו-p.

הסדרה cn מוגדרת כך: cn = an - n

נתון כי סכום 6 האיברים הראשונים בסדרה cn הוא 0 .

ב. (1). מצא את a1 .
(2). מה הם ערכי k ו- p ? מצא את כל האפשרויות.

ג.חשב את הסכום

(c1 - c2)² + (c3 - c4)² + . . . + (c99 - c100

נמק.


פתרון

א. (1) הוכח שהפרש הסדרה 1-

נתון: ak = p , ap = k

נחשב את האיברים ה- k , וה- p ונציב:

ak = a1 + dᐧ(k - 1)  = p

ap = a1 + dᐧ(p - 1)  = k

a1 = p - d(k - 1)

a1 = k - dᐧ(p - 1)

p - dᐧ(k - 1) = k - dᐧ(p - 1)

p - k = dᐧ(k - 1) - dᐧ(p - 1)

p - k = dᐧk - d - dᐧp + d = dᐧk - dᐧp

p - k = -dᐧ(p - k)

-d = (p - k) / (p - k) = 1

d = -1

א. (2) הבע את a1 באמצעות k ו-p.

על פי הפיתוח לעיל נציב d  = -1 :
a1 = p - dᐧ(k - 1)
a1 = p - (-1)(k - 1) = p + (k - 1) = p + k -1
a1 = p + k - 1

ב. (1). מצא את a1 

הסדרה cn מוגדרת כך: cn = an - n
נתון כי סכום 6 האיברים הראשונים בסדרה cn הוא 0 .
 
השיטה: נציב סכום 6 האיברים הראשונים בסדרה cn הוא 0 , ונקבל ערך מספרי של הסכום   p + k , ומכאן נחשב את a1 .
cn = an - n
נחשב תחילה את a :
an  = a1 + d(n - 1) = (p + k - 1) + (-1)(n - 1) = p + k - 1 - n + 1 = p + k - n
an  =  p + k - n
נחשב את cn :
cn = an - n = (p + k - n) - n = p + k - 2n
cn  = p + k - 2n

ניתן להוכיח בקלות כי הסדרה cn היא חשבונית שהפרשה 2- (המקדם של n) , ואיברה הראשון p+k-2  ולחשב סכום 6 איברים ראשונים לפי נוסחה.

אולם נחשב ״ידנית״ סכום ששת האיברים הראשונים בסדרה cn:
cn  = p + k - 2n

c1 = p + k - 2
c2 = p + k - 4
c3 = p + k - 6
c4= p + k - 8
c5 = p + k - 10
c= p + k - 12

c1 + c2 + ... + c6 = 0

c1 + c2 + ... + c6 = p + k - 2 + p + k - 4 +.  .... + p + k - 12 = 6(p + k) - 42 = 0
6(p + k) = 42
p + k = 7


a1 = p + k -1 = 7 - 1 = 6
a1 = 6

ב. (2)  ערכי k ו- p האפשריים

מצאנו לעיל כי p + k = 7 ונתון כי k ו- p הם מספרים טבעיים וכן: k < p .
האפשרויות הקיימות הן:
p = 6 , k = 1

p = 5 , k = 2

p = 4 , k = 3

ג. מציאת הסכום  : 

(c1 - c2)² + (c3 - c4)² + . . . + (c99 - c100

נבדוק אם הסדרה  cn  חשבונית ומהו הפרשה.

כפי שמצאנו לעיל:

cn  = p + k - 2n

p + k = 7

לכן:

cn  = 7 - 2n

cn  = 5 + 2 - 2n = 5 -2(n - 1)

cn  = 5 -2(n - 1)

זהו ביטוי של סדרה חשבונית מהצורה  cn = c1 + d(n-1)  שהפרשה 2- = d  (ואיברה הראשון 5 = c1).

מכאן ש -cn  סדרה חשבונית שהפרשה d = -2.

כלומר  :

(c1 - c2)² + (c3 - c4)² + . . . + (c99 - c100)² = 2² + 2² ..... + 2² = 50 ᐧ 2² = 200

אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה