משולשים חסומים במעגל - מתוך מתכונת חורף 2008 - פתרון בעיה בטריגונומטריה

שאלה

ABC הוא משולש חסום במעגל שרדיוסו R. בD היא נקודה על הצלע BC כך ש:

BAD = 45°⦠ , ע  CAD = 60°⦠ , המשך הקטע AD חותך את היקף המעגל בנקודה E.

נתון:  ס״מ AB = 2  , ס״מ AC = √8 .

א. חשב את רדיוס המעגל R.

ב. חשב את AE.

פתרון

נסמן זוויות במשולשים.

מציאת רדיוס המעגל החוסם R
מוצאים את הזוית A ולפי משפט הקוסינוסים מחשבים את BC.
לאחר מכן משתמשים במשפט הסינוסים לחשב את רדיוס המעגל החוסם R.

סעיף ב - חישוב אורך הקטע AE
לחישוב אורך הקטע AE נשתמש במשפט הסינוסים על משולש ABE. נחשב את זויות המשולש באמצעות השוואתן לזויות הידועות לנו או משפט הסינוסים. את AE נמצא לבסוף ע"פ משפט הסינוסים במשולש AEB