משולש שווה שוקיים חסום במעגל ומשיקים לקדקודיו - בעיה פתורה בגיאומטריה

תרגיל

 

משולש שווה שוקיים ABC (AB = BC)  חסום במעגל. דרך קדקוד C הועבר משיק למעגל, ודרך קדקוד A הועבר ישר המקביל לצלע BC וחותך את המשיק בנקודה D.

נתון כי AB = 16, וכי AD = 9. חשבו את היקף המשולש ACD.

 פתרון

נוכיח כי ABC ~ △ACD△ :

ACD  = ∢ABC⦠  - זווית בין משיק (CD) ומיתר (AC) שווה לזווית ההיקפית הנשענת על אותו מיתר.

ACB  = ∢CAD⦠  - זוויות פנימיות מתחלפות בין מקבילים, BC || AD.

לכן  ABC ~ △ACD△ על פי משפט דמיון שני. ולכן:

AB / AC = AC / AD

16 / AC = AC / 9

AC² = 9 * 16 = 144

AC = 12

בנוסף, מכיוון שמשולש ABC שווה שוקיים, גם משולש ACD הדומה לו הוא שווה שוקיים (CA = CD) , לכן היקף המשולש ACD הוא:

P = AD + AC + CD =

AD + 2ᐧAC =

9 + 2ᐧ12 = 33

P = 33

 

היקף משולש ACD הוא 33.