משפט הטנגנסים - בעיה פתורה

משפט הטנגנסים מציג יחס בין אורך צלעות המשולש לבין טנגנס הזוויות שבו.

משולש

 

עבור משולש ששתיים מצלעותיו הן a , b והזוויות שמולן הן 𝜶 , β בהתאמה, משפט הטנגנסים קובע כי מתקיים בו היחס הבא:

.

תרגיל

נתון משולש שצלעותיו הן 40 ס"מ ו- 20 ס"מ והזווית ביניהן היא 80.5° יש להתיר את המשולש

פתרון: 

לפי משפט הטנגנסים

a + b = 40 + 20 = 60

a - b = 40 - 20 = 20

𝜶 + β = 180° - ɣ = 180° - 80.5° = 99.5°

(𝜶 + β) / 2 = 49.75°

אם נחשב את  2/(𝜶 + β)  נוכל לחשב את שתי הזוויות ע"י פתרון מערכת שתי משוואות בשני נעלמים ב-  𝜶 , β .

(a + b) / (a - b) = (40 + 20) / (40 - 20) = 3 

3 = tg[(𝜶 + β) / 2] / tg[(𝜶 - β) / 2] = tg49.75° /  tg[(𝜶 - β) / 2]

3 = 1.1812 /  tg[(𝜶 - β) / 2

 tg[(𝜶 - β) / 2 = 0.3937

(𝜶 - β) / 2 = 21.5°

קיבלנו מערכת משוואות בשני נעלמים:

(𝜶 + β) / 2 = 49.75°

𝜶  = 71.25°

β = 28.25°

וכפי שנתון : ɣ = 80.5°

מה שנשאר זה לחשב את הצלע השלישית לפי משפט הסינוסים :

c / sin(80.5°) = a / sin𝜶 = 40 / sin(71.25°)

c = 42.66