מקבילית במערכת צירים - מבגרות מתמטיקה 3 יחידות - קיץ 2014

שאלה 3

בציור שלפניך נתונה מקבילית ABCD.

שיעור הקדקודים A ו- B של המקבילית הם:

(0, 2-)A 

(8, 0) B 

הקדקד D נמצא על ציר ה - x.

א. נתון כי אורך הצלע AD הוא 12.

    מצא את שיעור ה- x של הנקודה D. 

ב. 1. מצא את שיפוע הישר AB.

    2. מצא את שיפוע הישר CD , נמק.

ג. מצא את משוואת הישר CD.

מקבילית ABCD

פתרון

א. נסמן את ראשית הצירים באות O. שיורי הנקודה ( A  (-2,0 לכן  AO = 2.
AD = 12 ע"פ נתוני השאלה בסעיף א
מאחר ו:     AD - AO = DO
נובע כי  DO = 12 --2 = 10
מכאן   ( D (10, 0, ולכן שיעור ה- x של D הוא 10

ב.1. שיפוע הישר AB - שיפוע של ישר במערכת צירים הוא המנה בין הפרשי שיעורי y של שתי נקודות על הישר לבין שיעורי x של אותן שתי נקודות בהתאמה.
ידועות לנו הנקודות A, B לכן שיפוע AB:
(A (-2 , 0 , ושיעור ( B (0, 8
לכן שיפוע AB : 

(8 - 0) / [0 - (-2)]  = 8 / 2 = 4

שיפוע AB הוא 4 .

ב.2 מציאת שיפוע הקטע CD:

שיפוע ישר במערכת צירים הוא טנגנס הזוית בין הישר לכיוון החיובי של ציר ה- x. ישרים מקבילים יוצרים אותה זוית עם ציר x (זויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות) ולכן השיפוע שלהם שווה.

במקרה שלנו
 CD||AB - נתון
מכאן:  - זויות מתאימות בין המקבילים AB, CD

לכן הישרים AB, CD בעלי אותו שיפוע - יוצרים אותה זוית עם הכיוון החיובי של ציר x.

שיפוע CD שווה גם הוא ל- 4

ג. משוואת הישר CD:

משוואת ישר במערכת צירים מתוארת ע"י הפונקציה: y = ax +b
כאשר a הוא השיפוע ו- b היא נקודת חיתוך עם ציר y.

במקרה הישר CD, השיפוע a שווה ל- 4 , a = 4, כפי שמצאנו ב- ב.2.

לכן משוואת הישר היא y = 4x +b

מציאת b:

הישר CD עובר דרך נקודה D . נציב במשוואת הישר.
שיעורי הנקודה D מצאנו ב- א    ( D (10, 0

הצבת שיעורי D במשוואת הישר CD:
0 = 4ᐧ10 + b

b = -40

ולכן משוואת הישר CD היא:  y = 4x - 40