מעוין - מונחים ותכונות

מעוין מבנה גאומטרי של מרובע שווה-צלעות. זהו מקרה פרטי של דלתון ושל מקבילית. ריבוע הוא מקרה פרטי של מעוין בו הזוויות שוות. פאון שכל פאותיו הם מעוינים נקרא מעוינון.

תכונות המעוין 
מעוין
מעוין

אלכסוני המעוין חוצים את זוויות המעוין

כל הצלעות שוות באורכן: (AB = BC = CD = DA).

צלעות נגדיות מקבילות (AB || CD ; BC || DA).

זוויות נגדיות שוות זו לזו .

האלכסונים מאונכים זה לזה .

האלכסונים חוצים זה את זה (AO = CO ; BO = DO).

האלכסונים חוצים את זוויות המעוין.

היקף המעוין שווה לאורך הצלע כפול 4 .

בכל מעוין ניתן לחסום מעגל.

הוכח כי אלכסוני המעוין חוצים את זויות המעוין

נוכיח עבור אלכסון אחד כי הוא חוצה את זויות המעוין. באותה דרך אפשר להוכיח כי האלכסון השני חוצה גם הוא את זויות המעוין.

נתון:

מעוין ABCD
AC אלכסון במעוין

אלכסון המעוין חוצה את זויות המעוין
אלכסון המעוין חוצה את זוויות המעוין
 
צריך להוכיח:
 האלסון AC חוצה את זויות המעוין A ו- C כלומר:




הוכחה:

מוכיחים ע"י חפיפת משולשים ABC, ADC

1. AB = AD  - צלעות המעוין שוות
2. CB = CD  - צלעות המעוין שוות
3. AC = AC  - צלע משותפת

מכאן:

נובע מ: 1,2,3 לפי צ.צ.צ

מהחפיפה נובע:


מ.ש.ל