ערך מוחלט

ערך מוחלט של מספר x מסומן |x|  ומוגדר:
הגדרת ערך מוחלט של מספר x
הגדרת ערך מוחלט של מספר x
דוגמאות לערכים מוחלטים של מספרים:
| 3 | = 3 
| 0 | = 0
| -5 | = -(-5) = 5 
| - | a | | = | a |
מבחינה גיאומטרית הערך המוחלט של x , או |x| הוא המרחק של x מ- 0 על הישר הממשי.
מאחר ומרחק הוא תמיד חיובי או 0 אנו אומרים כי x | ≥ 0 | עבור כל מספר ממשי, ו-  x | = 0 | אם ורק אם  x=0 .

נוסיף כי המרחק בין x ל- y שווה   | x - y | על הציר הממשי.
ערך מוחלט מציין מרחקים בין נקודות על ציר המספרים
ערך מוחלט מציין מרחקים בין נקודות על ציר המספרים

תכונות הערך המוחלט:

אם a ו- b שני מספרים ממשיים אזי מתקיים:
| -a | = | a |
|aᐧb| = | a |ᐧ| b |
| a / b | = | a | / | b |
| a + b | ≤ | a | + | b | 
האי שוויון האחרון  | a + b | ≤ | a | + | b |  נקרא אי שיוויון המשולש. 
דוגמאות:

| -3 + 5 | = | 2 | = 2 < | -3 | + | 5 | = 8
| 3 + 5 | = | 8 | = 8 = | 3 | + | 5 |
| -3 - 5 | = | -8 | = 8 = | -3 | + | -5 |

האי שיוויון  x | < a |  מציין שהמרחק של x מ- 0 קטן מהמספר החיובי a. המשמעות היא כי x נמצא בין a- ל- a. ראה סקיצה להלן:
הערך המוחלט של x קטן מ- a , כלומר x נמצא בין a- ל-a
הערך המוחלט של x קטן מ- a , כלומר x נמצא בין a- ל-a

להלן מספר תכונות נוספות של ערך מוחלט הנובעים מהגדרת הערך המוחלט ושימושיים לפתרון משוואות אי שיוויונים עם ערך מוחלט:

ערכים מוחלטים ואינטרוולים
אם a מספר חיובי אז:
| x | = a  if and only if  x = ±a
| x | < a  if and only if  -a < x < a
| x | > a  if and only if  x > a or x < -a
| x | ≤ a  if and only if  -a ≤ x ≤ a
| x | ≥ a  if and only if  x ≥ a or x ≤ -a
הביטוי " if and only if" משמעותו "אם ורק אם".

אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה