ערך מוחלט

ערך מוחלט של מספר x מסומן |x|  ומוגדר:

הגדרת ערך מוחלט של מספר x

דוגמאות לערכים מוחלטים של מספרים:

| 3 | = 3 

| 0 | = 0

| -5 | = -(-5) = 5 

| - | a | | = | a |

מבחינה גיאומטרית הערך המוחלט של x , או |x| הוא המרחק של x מ- 0 על הישר הממשי.

מאחר ומרחק הוא תמיד חיובי או 0 אנו אומרים כי x | ≥ 0 | עבור כל מספר ממשי, ו-  x | = 0 | אם ורק אם  x=0 .

נוסיף כי המרחק בין x ל- y שווה   | x - y | על הציר הממשי.

ערך מוחלט מציין מרחקים בין נקודות על ציר המספרים

תכונות הערך המוחלט:

אם a ו- b שני מספרים ממשיים אזי מתקיים:

| -a | = | a |

|aᐧb| = | a |ᐧ| b |

| a / b | = | a | / | b |

| a + b | ≤ | a | + | b | 

האי שוויון האחרון  | a + b | ≤ | a | + | b |  נקרא אי שיוויון המשולש. 

דוגמאות:

| -3 + 5 | = | 2 | = 2 < | -3 | + | 5 | = 8

| 3 + 5 | = | 8 | = 8 = | 3 | + | 5 |

| -3 - 5 | = | -8 | = 8 = | -3 | + | -5 |

האי שיוויון  x | < a |  מציין שהמרחק של x מ- 0 קטן מהמספר החיובי a. המשמעות היא כי x נמצא בין a- ל- a. ראה סקיצה להלן:

הערך המוחלט של x קטן מ- a , כלומר x נמצא בין a- ל-a

להלן מספר תכונות נוספות של ערך מוחלט הנובעים מהגדרת הערך המוחלט ושימושיים לפתרון משוואות אי שיוויונים עם ערך מוחלט:

ערכים מוחלטים ואינטרוולים
אם a מספר חיובי אז:

| x | = a  if and only if  x = ±a

| x | < a  if and only if  -a < x < a

| x | > a  if and only if  x > a or x < -a

| x | ≤ a  if and only if  -a ≤ x ≤ a

| x | ≥ a  if and only if  x ≥ a or x ≤ -a

הביטוי " if and only if" משמעותו "אם ורק אם".