משפט חפיפה רביעי: שני משולשים, השווים בשתיים מצלעותיהם ובזווית שמול הצלע הגדולה מביניהן – חופפים (צצ"ז)

משפט חפיפה רביעי: שני משולשים, השווים בשתיים מצלעותיהם ובזווית שמול הצלע הגדולה מביניהן – חופפים. (צצ"ז)

נתון:

שני משולשים, השווים בשתיים מצלעותיהם ובזווית שמול הצלע הגדולה מביניהן

 AB = DE , BC = EF

AB < BC , AC < BC

EF > ED , EF > DF

D⦠י= A⦠

 צריך להוכיח:

ABC ≅△DEF△

הוכחה:

נניח בדרך השלילה שהמשולשים לא חופפים, במקרה זה AC ≠ DF (אם AC = DF אז המשולשים חופפים לפי צ.ז.צ). 

נניח שמתקיים AC > DF (אם AC <  DF  ההוכחה דומה).

נסמן נקודה G על AC כך שמתקיים DF = AG.

על פי משפט החפיפה צ.ז.צ נקבל : ABG ≅△DEF△ .

מהחפיפה נקבל ש - EF = BG, , אך נתון ש - BC = EF , לכן  BC = BG.

מכאן נקבל .

אך: .  ( חיצונית למשולש ABC).

ולכן גם .

אבל לפי הנתון AB<AC , כלומר וזאת סתירה.

מסקנה: DF = AC והמשולשים חופפים.

מ.ש.ל