שאלה
ABCD הוא טרפז ישר זווית (A = ∠D =∠900).
נקודה M נמצאת על הצלע DC (ראה ציור).
נתון:
∠AMB = 900
AM = MB = k
∠MDA = α
הבע באמצעות k ו- 𝝰 את שטח הטרפז.
נוכיח כי זוית BMC שווה לזוית 𝝰 :
1: במשולש ישר זוית ADM מתקיים: 𝜶 + ∢AMD = 90° - סכום זויות חדות במשולש ישר זוית שווה 90° .
על הישר CD מתקיים: BMC + ∢AMD = 90°⦠ - סכום זויות צמודות על ישר הוא 180°.
2: לכן 180° = BMC + ∢AMD + 90°⦠
מכאן: BMC = 𝜶⦠ נובע מ- 1 ו- 2.
ע"פ הגדרות סינוס וקוסינוס במשולשים ADM, BMC:
מכאן: BMC = 𝜶⦠ נובע מ- 1 ו- 2.
ע"פ הגדרות סינוס וקוסינוס במשולשים ADM, BMC:
AD = kᐧcos𝝰
MD = kᐧsin𝝰
CM = kᐧcos𝝰
BC = kᐧsin𝝰
גובה הטרפז CD:
CD = DM + CM = kᐧcos𝝰 + kᐧsin𝝰
שטח הטרפז ישר זוית ABCD שנסמנו באות S הוא חצי מכפלת סכום הבסיסים AD ו- BC בגובה CD:
S = ½ ᐧ (AD + BC) ᐧ CD = ½ ᐧ (kᐧcos𝝰 + kᐧsin𝝰)(kᐧcos𝝰 + kᐧsin𝝰) = ½ ᐧ k² ᐧ (cos𝝰 + sin𝝰)²
S = ½ ᐧ k² ᐧ (cos𝝰 + sin𝝰)²
מ.ש.ל
אין תגובות:
הוסף רשומת תגובה