משולש ישר זוית חסום בטרפז ישר זוית - טריגונומטריה 4 יח' מתמטיקה

שאלה
 

ABCD הוא טרפז ישר זווית (A = ∠D =900).

נקודה M נמצאת על הצלע DC (ראה ציור).

טרפז ABCD ישר זווית
נתון: 

 ∠AMB = 900

 AM = MB = k

∠MDA = α

הבע באמצעות k ו-  𝝰 את שטח הטרפז.


פתרון

לצורך פתרון נשרטט את הטרפז ונסמן את הזויות הישרות, זוית 𝝰 ו- k.

נוכיח כי זוית BMC שווה לזוית 𝝰 :

1: במשולש ישר זוית ADM מתקיים:  𝜶 + AMD = 90° - סכום זויות חדות במשולש ישר זוית שווה 90° .

על הישר CD מתקיים: BMC + AMD = 90° - סכום זויות צמודות על ישר הוא 180°.
2: לכן  180° = BMC + AMD + 90°
מכאן:  BMC = 𝜶 נובע מ- 1 ו- 2.

ע"פ הגדרות סינוס וקוסינוס במשולשים ADM, BMC:
AD = kᐧcos𝝰
MD = ksin𝝰
CM = kcos𝝰
BC = ksin𝝰
 גובה הטרפז CD:
CD = DM + CM =  kcos𝝰 +  ksin𝝰

שטח הטרפז ישר זוית ABCD שנסמנו באות S הוא חצי מכפלת סכום הבסיסים AD ו- BC בגובה CD:

S = ½ ᐧ (AD + BC) ᐧ CD = ½ ᐧ (kᐧcos𝝰 + ksin𝝰)(kcos𝝰 +  ksin𝝰) = ½ ᐧ k²  (cos𝝰 + sin𝝰)²

S = ½ ᐧ k²  (cos𝝰 + sin𝝰)²

מ.ש.ל

אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה