זהויות טריגונומטריות - הוכח: סכום ריבוע סינוס זוית וריבוע קוסינוס אותה זוית שווה אחד.

משולש ישר זוית ABC

 

הוכח כי עבור זוית כלשהי מתקיימת הזהות הטריגונומטרית:  sin²𝜶 + cos²𝜶 = 1

הוכחה:

נניח כי הזוית 𝜶 היא זוית חדה במשולש ישר זוית שקודקודיו ABC , ניצביו a,b והיתר c.

במשולש ABC מתקיים:

sin(𝜶) = a / c

cos(𝜶) = b / c

נבדוק הביטוי סכום ריבוע סינוס זוית 𝜶 וריבוע קוסינוס אותה זוית:

אך ע"פ משפט פיתגורס  a² + b² = c²

לכן:

(a² + b²) / c²   = c² /  c²  = 1

 ולכן:  sin²𝜶 + cos²𝜶 = 1

 מ.ש.ל

ניתן להוכיח במקרה הכללי ע"פ הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות במעגל היחידה. זהו מעגל ברדיוס יחידה שמרכזו מתלכד עם ראשית הצירים. הרדיוס יוצר זוית 𝜶 עם הכיוון החיובי של ציר x. ומתבוננים בקצה הרדיוס על מעגל היחידה (נקודה A בסקיצה להלן).
 

(cos(𝜶  - מוגדר כשיעור x של קצה הרדיוס על המעגל
(sin(𝜶  - מוגדר כשיעור y של קצה הרדיוס על המעגל.

מעגל היחידה ופונקציות טריגונומטריות סינוס וקוסינוס

 ניתן לראות ע"פ משפט פיתגורס כי במשולש ישר הזוית ABO סכום ריבועי שיעור x ו- y שווה לרדיוס המעגל היחידה כלומר:

sin²𝜶 + cos²𝜶 = 1
 
 מ.ש.ל