שאלה 1 - פרבולה - ממבחן מפמ"ר לכיתה ט רמה רגילה - תשע"ד
1. נתונה הפונקציה f(x) = -(1 / 4)ᐧ(x + 1)² + 5.
נתון מלבן שצלעותיו מקבילות לצירים.
שיעורי הקודקוד A של המלבן הם (5 , 5-).
E קודקוד הפרבולה . הנקודה E נמצאת באמצע הצלע AB של המלבן.
הפרבולה עוברת דרך הקודקודים C, D של המלבן.
א. חשבו את שיעורי הנקודות B, C, D של המלבן, נמקו.
ב. מצאו את משוואת הישר העובר דרך קדקוד הפרבולה E לקדקוד D של המלבן.
ג. חשבו את היקפו של משולש EDC
ד. נתונה הפונקציה f(x) = -(1 / 4)ᐧ(x + 1)² + m.
ג. חשבו את היקפו של משולש EDC
ד. נתונה הפונקציה f(x) = -(1 / 4)ᐧ(x + 1)² + m.
רשמו דוגמה לערך של הפרמטר m כך שתתקבל פונקציה ריבועית שאין לה נקודות חיתוך עם המלבן. נמקו.
פתרון
סעיף א - שיעורי הנקודות B, C, D של המלבן
חישוב שיעור נקודה B
שיעורי קדקוד הפרבולה y = aᐧx² + bᐧx + c עבור a ≠ 0 הם:
נציג את הפרבולה בצורתה הקנונית y = aᐧx² + bᐧx + c ונחשב את ערך x של קדקודה E.
מקדמי המשוואה הפרבולית a,b,c הם:
a = -1/4
b = -1/2
c = 19/4 = 4.75
נחשב את הערך x של קדקוד הפרבולה E:
שיעור x של קודקוד המלבן A הוא 5- , ושיעור x של נקודה E אמצע צלע המלבן AB הוא 1-.
מכאן אורך AE = 4, ואורך צלע המלבן AB הוא 8. לכן ערך x של נקודה B הוא 3. ערך y של B הוא כמו של A , שווה 5.
לכן שיעור הנקודה B הוא: (3,5)
שיעור נקודה C
נקודה C היא מפגש בין הישר BC שמשוואתו x = 3 לפרבולה. נציב במשוואת הפרבולה x=3:
נחשב את הערך x של קדקוד הפרבולה E:
שיעור x של קודקוד המלבן A הוא 5- , ושיעור x של נקודה E אמצע צלע המלבן AB הוא 1-.
מכאן אורך AE = 4, ואורך צלע המלבן AB הוא 8. לכן ערך x של נקודה B הוא 3. ערך y של B הוא כמו של A , שווה 5.
לכן שיעור הנקודה B הוא: (3,5)
שיעור נקודה C
נקודה C היא מפגש בין הישר BC שמשוואתו x = 3 לפרבולה. נציב במשוואת הפרבולה x=3:
f(x) = -(1 / 4)ᐧ(x + 1)² + 5
f(x = 3) = -(1 / 4)ᐧ(3 + 1)² + 5 = 1
f(3) = 1
שיעור נקודה C הוא: (3,1)
שיעור נקודה D
ערך x של נקודה D זהה ל- x של A, וערך y של D זהה לערך y של C.
שיעור נקודה D הוא: (1 , 5-).
פתרון סעיף ב
שיעור נקודה E כפי שנמצא בסעיף א הוא : (5 , 1-)
שיעור נקודה D שחושב בסעיף א הוא: (1 , 5-)
למציאת משוואת הישר שעובר דרך נקודות E, D , נשתמש במשוואת ישר העובר דרך 2 נקודות:
משוואת הישר העובר דרך נקודות D, E הוא: y = x +6
פתרון סעיף ג
ניתן לראות בסקיצה להלן את שיעורי קודוקדי המלבן ABCD ואורכי צלעותיו, ניתן לחשב את DE ע"פ משפט פיתגורס (על משולש ADE) ומכאן את היקף המשולש DEC.
משיקולי סימטריה CD = DF = 4√2 .
ההיקף P של משולש DEC:
P = DE + CE + DC
פתרון סעיף ד
ניתן לראות כי עבור ערך m = 0 לפרבולה לא יהיו נקודות חיתוך עם המלבן.
כאשר m = 0 הפונקציה הריבועית תהיה:
שיעור נקודה D
ערך x של נקודה D זהה ל- x של A, וערך y של D זהה לערך y של C.
שיעור נקודה D הוא: (1 , 5-).
פתרון סעיף ב
שיעור נקודה E כפי שנמצא בסעיף א הוא : (5 , 1-)
שיעור נקודה D שחושב בסעיף א הוא: (1 , 5-)
למציאת משוואת הישר שעובר דרך נקודות E, D , נשתמש במשוואת ישר העובר דרך 2 נקודות:
משוואת הישר העובר דרך נקודות D, E הוא: y = x +6
פתרון סעיף ג
ניתן לראות בסקיצה להלן את שיעורי קודוקדי המלבן ABCD ואורכי צלעותיו, ניתן לחשב את DE ע"פ משפט פיתגורס (על משולש ADE) ומכאן את היקף המשולש DEC.
משיקולי סימטריה CD = DF = 4√2 .
ההיקף P של משולש DEC:
P = DE + CE + DC
פתרון סעיף ד
ניתן לראות כי עבור ערך m = 0 לפרבולה לא יהיו נקודות חיתוך עם המלבן.
כאשר m = 0 הפונקציה הריבועית תהיה:
f(x) = -(1 / 4)ᐧ(x + 1)²
f(x) = -(1/4)ᐧx² - x/2 - 1/4
זוהי פונקציה ריבועית בעלת שורש אחד (השווה ל- 1-) כלומר משיקה לציר x.
בנוסף היא פרבולה עם נקודת מקסימום מאחר והמקדם של x² קטן מ- 0 (שווה ל- 1/4- ) ולכן כל הגרף יהיה מתחת לציר x (פרט לנקודת ההשקה לציר x)
לפרבולה זאת לא יהיו נקודות חיתוך עם ציר עם המלבן, ראה סקיצה.
בנוסף היא פרבולה עם נקודת מקסימום מאחר והמקדם של x² קטן מ- 0 (שווה ל- 1/4- ) ולכן כל הגרף יהיה מתחת לציר x (פרט לנקודת ההשקה לציר x)
לפרבולה זאת לא יהיו נקודות חיתוך עם ציר עם המלבן, ראה סקיצה.
אין תגובות:
הוסף רשומת תגובה