הוכח: כל צלע במשולש גדולה מהפרש שתי הצלעות האחרות

נתון: משולש ABC

 

הוכח:  כל צלע במשולש גדולה מהפרש שתי הצלעות האחרות

הוכחה:

נוכיח עבור מקרה של צלע אחת ובאופן דומה ניתן להוכיח עבור כל אחת מצלעות המשולש.

שיטת ההוכחה: נוכיח כי הצלע AB גדולה מהפרש הצלעות AC ו- BC כלומר : AB > BC - AC
במשולש בניית העזר OB הוא הפרש AC ו- BC. נוכיח כי OB קטן מ- AB ע"י הוכחה כי הזוית O2 גדולה מזוית  A2.

בניית עזר:
מקצים את AC על BC ומקבלים נקודה O כך ש: OC = AC

משולש בניית עזר

 1: מכאן:    - במשולש מול צלעות שוות מונחות זויות שוות.

 2:     - זווית חיצונית במשולש (ACO) שווה לסכום שתי זוויות שאינה צמודות לה.

3:   - נובע מ- 2 : השלם גדול מחלקו.

4:     - נובע מ-1 ו- 3 : בהצבה


5.    -     זווית חיצונית במשולש (ABO) שווה לסכום שתי זוויות שאינה צמודות לה

6:     - נובע מ- 5 : השלם גדול מחלקו

7:      - נובע מ- 4,6 :  

8: AB > OB  - נובע מ- 7 : במשולש AOB  אם זווית (O2) אחת גדולה מזווית (A2) שניה אז הצלע (OB) שמול הזוית הקטנה, קטנה מהצלע (AB) שמול הזוית הגדולה

מ.ש.ל