אם הגובה לאחת הצלעות במשולש הוא הממוצע הגיאומטרי של היטלי שתי הצלעות האחרות על צלע זאת אז המשולש ישר זווית

נתון: משולש ABC,

AO - גובה לצלע BC.

AO² = BO ᐧ CO

צריך להוכיח:    BAC = 90⁰⦩

השיטה

נוכיח כי   AB² + AC² = BC² ומכאן ע"פ משפט פיתגורס ההפוך ,
נובע כי משולש ABC ישר זוית שבו  BAC = 90⁰⦩ .

הוכחה:

נסמן AO = h , BO = b , CO = a

1: AB² = b² + h² - משפט פיתגורס במשולש ישר זוית AOB

2: AC² = a² + h²  -  משפט פיתגורס במשולש ישר זוית AOC

3:  AB² + AC² = a² + 2h² + b²  - נובע מ- 1,2

4:   h² = a ᐧ b   - נתון (הגובה h לצלע BC הוא הממוצע הגיאומטרי של ההיטלים a, b)

נציב את 4 ב- 3 ונקבל

5.     AB² + AC² = a² + 2ab + b²

AB² + AC² = (a + b)²

אך a + b = BC לכן

6. AB² + AC² = BC²

מכאן משולש ABC ישר זוית (זוית A ישרה) ע"פ משפט פיתגורס הפוך (אם במשולש סכום ריבועי צלעות שווה לריבוע צלע שלישית אזי הזוית מול הצלע השלישית ישרה)

מ.ש.ל