אם הגובה לאחת הצלעות במשולש הוא הממוצע הגיאומטרי של היטלי שתי הצלעות האחרות על צלע זאת אז המשולש ישר זווית

נתון: משולש ABC,
AO - גובה לצלע BC



צריך להוכיח: 






השיטה

נוכיח כי   ומכאן ע"פ משפט פיתגורס ההפוך נובע כי משולש ABC ישר זוית שבו

הוכחה:

נסמן AO = h , BO = b , CO = a

1: - משפט פיתגורס במשולש ישר זוית AOB
2:   -  משפט פיתגורס במשולש ישר זוית AOC

3:    - נובע מ- 1,2

4:     - נתון (הגובה h לצלע BC הוא הממוצע הגיאומטרי של ההיטלים a,b)

נציב את 4 ב- 3 ונקבל


5.

אך a + b = BC לכן

6:

מכאן משולש ABC ישר זוית (זוית A ישרה) ע"פ משפט פיתגורס הפוך (אם במשולש סכום ריבועי צלעות שווה לריבוע צלע שלישית אזי הזוית מול הצלע השלישית ישרה)

מ.ש.ל

אין תגובות:

פרסום תגובה