בריבוע ABCD הנקודה E נמצאת AD (ראה ציור).
מעגל העובר דרך הנקודות E, D ו- C חותך את האלכסון BD בנקודה M, ואת הצלע BC בנקודה N.
הנקודה M נמצאת בין הקדקוד B ובין נקודת החיתוך של ED עם CE.
א. הוכח כי CD = EN.
ב. האם הקטע DM קצר מהקטע CE, ארוך ממנו או שווה לו? נמק.
ג. הוכח כי BM * BD = AE * AD .
פתרון שאלה 4
נשרטט את המעגל עם הנקודות M,N. ונסמן המעגל באות O.
א.
נוסיף בניית עזר את הקטע EN , נוכיח כי המרובע CDEN הוא מלבן ומזה נובע כי CD = EN.
 |
| בניית עזר הקטע EN, בניית המעגל O |
1: זוית EDC ישרה - זוית בריבוע. ABCD ריבוע וכל זויותיו ישרות
2: CE קוטר - נובע מ- 1, אם במעגל (O) זוית היקפית ישרה (EDC) נשענת על מיתר אזי המיתר הוא קוטר.
3: זוית ENC ישרה - זוית היקפית נשענת על הקוטר EC במעגל O ולכן ישרה.
4: זוית NCD ישרה - זוית בריבוע ABCD
5: זוית NED ישרה - נובע מ- 1,3,4 - אם במרובע DENC שלש זויות ישרות אזי גם הזוית הרביעית ישרה מאחר וסכות זויות במרובע הוא 360 מעלות
6: מרובע DENC מלבן - מרובע שזויותיו ישרות הוא מלבן.
7. CD = EN - צלעות נגדיות במלבן DENC שוות.
מ.ש.ל
ב.
הקטע DM קצר מקטע CE - נוכיח:
1: CE = DN - אלכסונים במלבן (DENC) שווים
2: זוית EMD חדה - זוית במשולש ישר זוית (DEM) שאינה ישרה חייבת להיות חדה
3: זוית DMN קהה - צמודה לזוית חדה EMD כל קטע EN
4: DN הצלע הגדולה במשולש DMN מאחר ומולה זוית קהה DMN
5: DN גדול מ- DM - נובע מ- 4
6: CE גדול מ- DM - נובע מ- 1,5
ג.
נדרש להוכיח כי BM*BD = AE*AD
בונים ב.ע את הקטע MN ומוכיחים כי משולש BMN ישר זוית שזויותיו החדות 45 מעלות. מוכיחים הנדרש ע"י דמיון משולשים BMN, ABD ושיוויון הקטעים: AE = BN.
 |
| בניית עזר הקטע MN |
DN = CE: 1 - אלכסונים במלבן CDEN ( הוכחנו בסעיף א.6 ש- CDEN מלבן)
2: DN קוטר מעגל O - נובע מ- 1
3: זוית DMN ישרה - זוית היפית במעגל O נשענת על קוטר DN היא זוית ישרה.
4: משולש BMN ישר זוית - נובע מ- 3
5: זוית MBN שווה 45 מעלות - זוית בין אלכסון BD לריבוע ABCD שווה 45 מעלות
6: משולש BMN ישר זוית שזויותיו החדות 45 מעלות - נובע מ- 5,4.
7: משולש ABD ישר זוית שזויותיו החדות 45 מעלות - משולש ABD נוצר בין אלכסון BD לריבוע ABCD , זויותיו החדות הן 45 מעלות
8: משולשים ABD, BMN דומים - נובע מ- 6,7 - משולשים השווים בזויותיהן דומים.
9: מהדימיון נובע: BM/BN = AD/BD
10: אך BN = AE - צלעות במלבן ABNE הנוצר מהפרש שטח ריבוע ABCD למלבן DENC
11: לכן BM/AE = AD/BD נובע מ- 9,10
12: לכן BM*BD = AE*AD - נובע מ- 11
מ.ש.ל
כול
השבמחק