חקירת פונקציה פולינומית ממעלה שלישית - מבגרות מתמטיקה 3 יח' חורף 2016

מתוך בגרות מתמטיקה 3 יח' - חורף 2016 

שאלה 4

נתונה הפונקציה

f(x) = x³ - 6ᐧx² + 9x

הנקודות A , B הן נקודות הקיצון של הפונקציה (ראה ציור)

א. מצא את השיעורים של הנקודות A , B וקבע את סוג הקיצון שלהן על פי הציור.

ב. דרך נקודה A ודרך ראשית הצירים העבירו ישר.

(1)  הראה כי משוואת הישר היא y = 4x.

(2) מצא את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x) , על ידי חיתוך הישר שבתת סעיף ב(1) ועל ידי הישר  x = -1   בתחום  0 ≥ x  (השטח המקווקו בציור).

פתרון שאלה 4

 א. מציאת נקודות קיצון

ערך הנגזרת של פונקציה בנקודת הקיצון שלה הוא 0. לכן נגזור את הפונקציה ונשווה לאפס.

f(x) = x³ - 6x² + 9x

f'(x) = 3x² -12x + 9

נשווה את הנגזרת ל- 0 ונפתור:

f'(x) = 3x² -12x + 9

0 = f'(x) = 3x² -12x + 9

0 =  x² -4x + 3

(x-1)(x-3) = 0 

x1 = 3

x2 = 1

קיבלנו שלפונקציה ערכי קיצון בנקודות x1 = 3 , x2 = 1, נחשב את ערכי הפונציה בנקודות אלו.

עבור x1 =3

f(x) = x³ - 6x² + 9x

f(3) = 3³ - 6ᐧ3² + 9ᐧ3

f(3) = 27 - 54 + 27 = 0

f(3) = 0

נקודת הקיצון הראשונה היא בנקודה: (3,0)

עבור x2 = 1

f(x) = x³ - 6x² + 9x

f(1) = 1³ - 6ᐧ1² + 9ᐧ1

f(1) = 1 - 6 + 9 = 4

f(1) = 4

נקודת הקיצון השניה היא בנקודה: (1,4)

ע"פ הסקיצה נקודת קיצון (1,4) היא נקודת מקסימום, ונקודת קיצון (3,0)  היא נקודת מינימום



ב. (1). משוואת הישר העובר דרך ראשית הצירים ונקודה A


הישר עובר דרך 2 נקודות: ראשית הצירים (0,0) ונקודה A (1,4)

מציאת שיפוע m של ישר העובר דרך שתי נקודות , 
השיפוע m נתון בנוסחה: 
לכן שיפוע הישר העובר דרך ראשית הצירים ונקודה A הוא: (1-0) / (4-0) = 4/1 = 4

משוואת הישר בעל שיפוע m העובר דרך נקודה  P(x₀ , y₀)  היא:  y - y₀ = m(x - x₀)

לכן משוואת הישר ששיפועו 4 ועובר דרך הראשית (0,0) היא: y-0 = 4(x-0) או y=4x.

משוואת הישר היא y = 4x

ב.2 - שטח מוגבל ע"י גרף הפונקציה

נדרש לחשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה הנתונה לישר y=4x בתחום   x = 0, -1
נחשב את השטח המוגבל בתחום של הפונקציה וציר x ע"י אינטגרציה ונפחית את השטח המוגל בין הישר y=4x בתחום לציר x/

חישוב השטח המוגבל של הפונקציה בתחום x= 0, -1 לציר x:


השטח יצא שלילי מבחינה מתמטית מאחר והוא ממוקם מתחת לציר x נתייחס אליו כחיובי כלומר השטח הוא 2.75 יחידות בריבוע

חישוב השטח המוגבל של הישר y = 4x בתחום x= 0, -1 לציר x:
 
השטח המוגבל בין הישר y=4x  לציר x בתחום x = 0, -1 הוא 2 יחידות בריבוע.

לכן השטח הנדרש בשאלה הוא  0.75 = 2 - 2.75

השטח המוגבל בין גרף הפונקציה הנתונה לישר y = 4x בתחום   x = 0, -1 הוא: 0.75 יחידות בריבוע.