פתרון שאלה 3 - בגרות מתמטיקה 3 יח' - חורף 2016 - גיאומטריה אנליטית - מעגל

מתוך בגרות מתמטיקה 3 יח' - חורף 2016

שאלה מספר 3

 

נתון ישר שמשוואתו x² + y² = 100.

המעגל חותך את ציר ה- x בנקודות A ו- B , כמתואר בציור.

 

הנקודה C נמצאת על המעגל ברביע הראשון, ושיעור ה- x שלה הוא 6.

א. מצא אתת השיעורים של הנקודות A ו- B.

ב. מצא את שיעור ה- y של הנקודה C.

ג. CE הוא קוטר במעגל (ראה ציור).

(1) מצא את השיעורים של הנקודה E.

(2) הראה כי  BC Ʇ BE.

(3) מצא את שטח המשולש CBE.

פתרון שאלה 3

א.
משוואת מעגל במערכת צירים שמרכזו בראשית הצירים היא:

בשאלה לעיל :

לכן


OA , OB שווים לרדיוס המעגל (10), ונמצאות על ציר x לכן שיעוריהן:  A(10,0) , B(-10,0)

ב.

משוואת המעגל היא

נציב במשוואת המעגל את שיעור הנקודה x =6 ונקבל

שיעור y של נקודה C הוא 8, בפתרון שללנו אפשרות y = -8 מאחר ונתון כי נקודה C היא ברביע הראשון.
C(6,8)

ג. 1
משיקולי סימטריה שיעורי נקודה E זהים לשיעורי נקודה C אבל בסימנים הפוכים: E(-6,-8)

ניתן למצוא שיעורי נקודה E ע"פ מציאת משוואת הישר CE ולאחר מכן מציאת נקודות חיתוך הישר עם המעגל.

ג.2

נמצא את שיפועי BC, BE ונראה כי השיפועים שווים מינוס אחד לחלק השיפוע של השני.
שיפוע m של ישר העובר דרך שתי נקודות נתונות במערכת צירים הוא:

שיפוע BE:
נסמן את השיפוע באות m
 B(-10,0) , E(-6,-8)
 

 שיפוע BC:
נסמן את השיפוע באות n
B(-10,0) , C(6,8)


 קיבלנו:
 
ניתן לראות כי היחס בין השיפועים m,n הוא   n=-1/m ולכן הקטעים BC, BE מאונכים

ג.3
מציאת שטח משולש BEC
מאחר ו- BE, BC מאונכים משולש BEC הוא ישר זוית שניצביו הם BE, BC ושיטחו שווה מחצית מכפלת הניצבים. נמצא את אורכי BC, BE.
המרחק d בין שתי נקודות  x0,y0  ,  x1,y1 במערכת צירים נתון ע"י:

לכן:
B(-10,0) , E(-6,-8)


וכן:
B(-10,0) , C(6,8)


שטח S המשולש ישר זוית שווה מחצית מכפלת הניצבים


שטח המשולש CBE הוא 80 יחידות בריבוע