פתרון שאלה 5 - בגרות מתמטיקה 3 יח' - חורף 2016 - משיק לפונקציה

מתוך בגרות מתמטיקה 3 יח' - חורף 2016

שאלה 5

פתרון שאלה 5


א.1 - שיפוע המשיק בנקודה A
שיפוע משיק של פונקציה בנקודה כלשהי שווה לערך הנגזרת הראשונה שלה באותה נקודה. לכן נגזור את הפונקציה ונציב x=1


שיפוע משיק של הפונקציה בנקודה x=1 הוא 6-

א.2 - משוואת המשיק

נמצא את משוואת המשיק ע"פ שיפוע ונקודה A שדרכה הוא עובר.

ידוע לנו שיפוע המשיק שמצאנו בסעיף הקודם ושווה ל: 1-
נחשב את שיעור נקודה A.
שיעור x של A נתון ושווה ל: 1.
נחשב את שיעור y של A ע"י הצבת x=1 בפונקציה.


שיעור הנקודה A הוא (1,10)

נמצא את משוואת המשיק ע"פ שיפועו השווה ל 6- ונקודה A (1,10) שדרכה הוא עובר.
משוואת הישר בעל שיפוע m העובר דרך נקודה  P(x₀ , y₀)  היא:  y - y₀ = m(x - x₀)  

נציב ונקבל:
y-10 = -6(x-1)
y-10 = -6x+6
y = -6x +16

משוואת המשיק בנקודה A היא: y = -6x +16


ב. נקודת מינימום של הפונקציה בתחום הנתון

נקודת מינימום של פונקציה מוצאים ע"י השוואת הנגזרת הראשונה של הפונקציה f(x) ל- 0.
 

התחום המבוקש בשאלה הוא עבור x חיובי לכן נתייחס לפתרון x=2
ערך הפונקציה f(x) עבור x=2 הוא:


שיעור נקודת המינימום בתחום המבוקש הוא (2,8)

ג.1
בנקודת המינימום (או מקסימום) שיפוע המשיק הוא 0, כלומר מקביל לציר x, זהו גם תנאי שקבענו למצוא את נקודת המינימום ( השוונו את הנגזרת הראשונה ל- 0).
המשיק עובר דרך נקודת המינימום כלומר עובר דרך הנקודה (2,8).
ישר ששיפועו 0 (מקביל לציר x) ועובר דרך נקודה שבה  y=8, משוואתו היא y=8.
משוואת המשיק בנקודת המינימום היא y=8

ג.2 מציאת נקודה P - מפגש בין המשיקים

למצוא את נקודת המפגש בין שני המשיקים נציב את משוואותיהם ונפתור:
משיק בנקודה A הוא: y = -6x +16
משיק בנקודה B הוא: y=8
נפתור:

y = -6x + 16

y = 8

8 = -6x + 16

6x = 8

x = 8 / 6 = 4 / 3

שיעור נקודה P המפגש בין המשיקים היא: