נתונה הפונקציה f(x) = -0.5ᐧx2 + 1 ונתון הישר y = -x + 2 .
הנקודה A נמצאת על הישר, והנקודה B נמצאת על גרף הפונקציה f(x) כך שהקטע AB מקביל לציר y, (ראה ציור).
א. מה צריך להיות שיעור ה- x של A , כדי שאורך הקטע AB יהיה מינימלי?
ב. מצא את האורך המינימלי של הקטע AB.
פתרון שאלה 6
א. שיעור ה- x של A , כדי שאורך הקטע AB יהיה מינימלי
א. שיעור ה- x של A , כדי שאורך הקטע AB יהיה מינימלי
נתייחס לשאלה כבעיית מינימום מקסימום.
נסמן את אורך הקטע AB כ- L. אורך הקטע AB שווה ל- y של הישר בנקודה x של A פחות y של הפונקציה בנקודה x של A.
L = -x + 2 - (-0.5x2 + 1)
L = -x + 2 + 0.5x2 - 1
L = 0.5ᐧx2 - x + 1
קיבלנו את L כפונקציה של x. למציאת מתי L מינימלי או מקסימלי נגזור ונשווה ל- 0.
L'(x) = x-1 = 0
x = 1
קיבלנו ש- L יהיה מינימום או מקסימום כאשר x=1
נאמת שמדובר בנקודת מינימום ע"י גזירה נוספת של L:
L"(x) =1 - הנגזרת השניה של L חיובית (שווה 1) ולכן מדובר בנקודת מינימום.
הקטע AB יהיה מינימלי עבור x = 1.
קיבלנו ש- L יהיה מינימום או מקסימום כאשר x=1
נאמת שמדובר בנקודת מינימום ע"י גזירה נוספת של L:
L"(x) =1 - הנגזרת השניה של L חיובית (שווה 1) ולכן מדובר בנקודת מינימום.
הקטע AB יהיה מינימלי עבור x = 1.
ב. האורך המינימלי של הקטע AB
האורך המינימלי של הקטע AB הוא ערכו של L בנקודה x=1:
L(x) = 0.5ᐧx2 - x + 1
L(1) = 0.5ᐧ12 - 1 + 1
L(1) = 0.5
האורך המינמלי של הקטע AB הוא 0.5 יחידות.
אין תגובות:
הוסף רשומת תגובה