מעוין במערכת צירים - מבגרות מתמטיקה כיתה י , 4 יחידות 2013

 לצפיה במבחן הקלק כאן

שאלה מספר 3 

 
במעויין ABCD נתון: B(5,3), האלכסון המעוין AC מונח על הישר  y = -(3/7)x +1.
נקודה A נמצאת על ציר ה-Y.
א. מצא את שיעורי הקדקודים A, C, ו D.
ב. הוכח : המרובע ABCD הוא ריבוע.
ג. בונים ריבוע חדש כך שצלעו הוא האלכסון של ריבוע ABCD. חשב את השטח של ריבוע חדש.

פתרון שאלה 3

א. נשרטט שרטוט סכמטי של המעוין
נקודה B נתונה ושיעורה B(5,3).

 

מציאת שיעור נקודה A:
נקודה A מונחת על הישר y = -(3/7)x + 1  - נתון
וגם על ציר y - נתון.
נמצא את נקודה A ע"י הצבת x = 0 בישר  y = -(3/7)x + 1.

ונקבל y = 1 , לכן שיעור נקודה A הוא: A(0,  1)

מציאת נקודה C
נקודה C נמצאת במרחק צלע המעוין (שניתן לחשב ע"י מרחק AB) וכן על הישר y = -(3/7)x + 1 , נקבל שתי משוואות בשני נעלמים.
אורך צלע המעוין הוא המרחק בין נקודה A לנקודה B, המרחק d בין שתי נקודות A, B במערכת צירים נתון בנוסחה:

d² = (x_A - x_B)² + (y_A - y_B)² 

לכן ריבוע המרחק בין נקודה A(0,1) לנקודה B(5,3) הוא:

d² = (5 - 0)² + (3 - 1)²

d² = 25 + 4 = 29

d² = 29

 שיעור הנקודה c הוא פתרון המשוואות:

y = -(3/7)x +1 

(x - 5)² +(y - 3)² = 29

 

 פתרון משוואה זו הוא שני ערכים לכל משתנה:

x1 = 0 

y1 = 1

x2 = 7

y2 = -2

הפתרון הראשון הוא נקודה A, הפתרון השני הוא נקודה C. כלומר שיעור נקודה C הוא (2-  , 7).

מציאת שיעור הנקודה D

הנקודה D נמצאת במרחקים שווים מנקודות A, C השווים לצלע המעוין. (ריבוע צלע המעוין הוא 29).

נרשום את המשוואות המרחקים :

(x - 0)² + (y - 1)² = 29  

(x - 7)² + (y + 2)² = 29

הפתרונות הם:

x1 = 2

y1 = -4

x2 = 5

y2 = 3

הפתרון 2 הוא הנקודה B.

הפתרון 1 הוא הנקודה D. לכן שיעור הנקודה D הוא (4-  ,  2)

ב. הוכחה כי המעוין ABCD הוא ריבוע

כדי להוכיח שהמעוין ABCD ריבוע נוכיח כי שתיים מצלעותיו מאונכות. מעוין ששתים מצלעותיו מאונכות הוא ריבוע.

ידועו לנו שיעורי קודקודי המעוין:

שיעור נקודה A הוא: A(0,1)

 נקודה B נתונה ושיעורה B(5,3).
שיעור נקודה C הוא (2-  , 7)

שיפוע AB:

(3-1) / (5-0) = 2/5

שיפוע BC

(-2-3) / (7-5) = -5/2

ניתן לראות כי השיפועים מקיימים את תנאי המאונכות , מכפלת שווה 1-.

לכן המעוין ABCD הוא ריבוע.

ג. שטח הריבוע על האלכסון של הריבוע ABCD

בסעיף א (מציאת הנקודה D) מצאנו כי ריבוע צלע המעוין ABCD הוא 29. כלומר שטח הריבוע ABCD הוא 29.

בריבוע על פי משפט פיתגורס, ריבוע האלכסון שווה פעמיים ריבוע הצלע. לכן שטח ריבוע האלכסון הוא:  2 · 29 = 58. 

שטח הריבוע החדש על האלכסון הוא 58.