שתי משוואות פרמטריות של ישרים במערכת צירים - מבגרות מתמטיקה 4 יחידות 2013

לצפיה במבחן הקלק כאן

שאלה מספר 1

נתונה מערכת המשוואות :  

(a - 2)x + 5y = a + 3

4x + (a - 3)y = 8

א. עבור איזה a אין פתרון למערכת משוואות? מהי משמעות הגאומטרית?
ב. עבור איזה a יש למערכת אין סוף פתרונות? מהי משמעות הגאומטרית?
ג. עבור איזה a יש למערכת פתרון יחיד? מהי משמעות הגאומטרית?

פתרון שאלה מספר 1

א.
נניח ישר שמשוואתו y = ax + b , הפרמטר a מציין שיפוע הישר במערכת הצירים והפרמטר b מציין נקודת חיתוך עם ציר y.

לשני ישרים במערכת צירים אין פתרון כאשר אין להם נקודות חיתוך משותפות, כלומר מקבילים ובעלי נקודת חיתוך שונה עם ציר y. אם הישרים מקבילים ובעלי אותה נקודת חיתוך עם ציר y הרי זה אותו ישר ולכן יש אינסוף פתרונות.

נפתור שתי המשוואות:

(a - 2)x + 5y = a + 3

4x + (a - 3)y = 8

5y = -( a - 2)x + a + 3 

(a - 3)y = 8 - 4x

y = -( a - 2)x / 5 + (a + 3) / 5

y = -4x / (a - 3) + 8 / (a - 3)

נשווה בין מקדמי x של הישרים ונפתור:

-(a - 2) / 5 = -4 / (a - 3)

(a - 2)(a - 3) = 20

a² -5a + 6 = 20

a² - 5a - 14 = 0

קיבלנו משוואה ריבועית שפתרונה:

a1 = 7

a2 = -2

עבור a = 7 המשוואות יראו כך:

y = -x +2
y = -x +2

אלו שני ישרים מקבילים בעלי אותה נקודות חיתוך עם ציר y ולכן גם זהים ולמערכת יש אינסוף פתרונות.

עבור a = -2 המשוואות יראו כך:
y = (4/5)x + 1/5
y = (4/5)x - 8/5

אלו שני ישרים בעלי אותו שיפוע את נקודת חיתוך שונה עם ציר y ולכן השירים שונים ולמערכת אין פתרונות

ב. ראה התשובה בסעיף א.

ג. למערכת פתרון יחד עבור כל ערך של a שונה ממה שמצאנו בסעיפים א,ב כלומר עבור a  שונה מ- 7 ומ - (1-).

המשמעות הגיאומטרית היא שני ישרים במערכת צירים בעלי שיפועים שונים ונחתכים בנקודה אחת .