נתון:
מערכת צירים שציריה x,y ובה נקודות A(x1, y1) , B(x2, y2) . |
| מרחק בין שתי נקודות במערכת צירים |
צריך להוכיח:
המרחק d בין הנקודות A,B שווה:d² = (x2 - x1)² + (y2 - y1)²
_________________
d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]
השיטה
נבנה בניית עזר אנכים מהנקודות A,B לצירים, ייווצר משולש ABC ישר זווית שצלעותיו הפרשי קואורדינטת x וקואורדינטות y של הנקודות A,B. בעזרת משפט פיתגורס נחשב אורך d המרחק בין הנקודות A,B.ב.ע
בונים אנכים מנקודות A,B לצירים x,y, נוצר משולש ישר זווית ABC (זווית C ישרה)
 |
| מרחק בין שתי נקודות במערכת צירים |
הוכחה
זוית C ישרה - נוצרה מאנכים לצירים x,y שהם אנכים אחד לשני
1: AC = x2 - x1 - קטע AC מקביל לציר x ולכן אורכו שווה להפרשי קואורדינטה x של נקודות A,B
2: BC = y2 - y1 - קטע BC מקביל לציר y ולכן אורכו שווה להפרשי קואורדינטה y של נקודות C,B
ע"פ משפט פיתגורס במשולש ישר זוית ABC (סכום ריבועי הניצבים BC, AC שווה לריבוע היתר AB)
d2 = AB2 = BC2 + AC2
d² = (x2 - x1)² + (y2 - y1)² - נובע מ- 1 ו- 2
ולכן:
_________________
d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]
דוגמא
מצא את המרחק בין הנקודות A(1,4) , B(-4,3)
פתרון
נבחר את נקודה A כנקודה 1 ואת נקודה B כנקודה 2, אין מניעה לבחירה הפוכה התוצאה תהיה זהה.נציב בנוסחה
_________________
d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]
ונקבל:
_______________
d = √[1 - (-4)]² + (4 - 3)²
_____
d = √5² + 1²
__
d = √26
המרחק בין הנקודות A(1,4) , B(-4,3) הוא (26)√
נציג את הנקודות A, B במערכת צירים ואת המרחק ביניהן:
נציג את הנקודות A, B במערכת צירים ואת המרחק ביניהן:
 |
| מרחק בין שתי נקודות A(1,4) , B(-4,3) במערכת צירים |
אין תגובות:
הוסף רשומת תגובה