מכפלה סקלרית של וקטורים

מכפלה סקלרית של שני וקטורים היא סקלר השווה למכפלת גודלם כפול קוסינוס הזוית ביניהם.


דוגמא:
נניח וקטור A בגודל 5 יחידות ווקטור B באורך 7 יחידות. הזוית בין שני הוקטורים היא 45 מעלות. מהי מכפלתם הסקלרית?

פתרון

שני וקטורים באורך 5, 7 יחידות וזוית 45 מעלות ביניהם

המכפלה הסקלרית של וקטורים A, B :
 


חישוב מכפלה סקלרית  באמצעות רכיבים

לעיתים נתונים לנו רכיבי הוקטורים בכיווני הצירים. במצב זה רכיבי הצירים של המכפלה הוקטורית שווה למכלות רכיבי הצירים של הוקטורים בהתאמה.

וקטורים P, Q במערכת צירים

דוגמא 
נתון וקטור P עם רכיב 5 יחידות בכיוון ציר x ורכיב 4 יחידות בכיוון ציר y :
P = 5i + 4j

נתון וקטור Q :
Q = 8i + 2j

א. מה המכפלה הוקטורית של P ב- Q
ב. מה הזוית אלפא בין P ל- Q

פתרון
א.
רכיב x של המכפלה הסקלרית של P ב- Q הוא מכפלת רכיבי x  של P ו- Q.
רכיב y של המכפלה הסקלרית של P ב- Q הוא מכפלת רכיבי y  של P ו- Q.

לכן המכפלה הסקלרית של P ב- Q:



ב. מציאת הזוית אלפא בין P ל- Q
הגדרנו מכפלה סקלרית של וקטורים כמכפלת גודלם בקוסינוס הזוית ביניהם. לכן נכפיל את גדלי P, Q בקוסינוס הזוית ביניהם, נשווה לתוצאה המכפלה הסקלרית 48 שחישבנו ב- א ע"פ הרכיבים ונחלץ את הזוית אלפא.
Q = 8i + 2j
P = 5i + 4j

גודלו של Q:
 

גודלו של P:


המכפלה הסקלרית בין הוקטורים P, Q היא: