מכפלה סקלרית של וקטורים

מכפלה סקלרית של שני וקטורים היא סקלר השווה למכפלת גודלם כפול קוסינוס הזוית ביניהם.

דוגמא:
נניח וקטור A בגודל 5 יחידות ווקטור B באורך 7 יחידות. הזוית בין שני הוקטורים היא 45 מעלות. מהי מכפלתם הסקלרית?

פתרון

שני וקטורים באורך 5, 7 יחידות וזוית 45 מעלות ביניהם

המכפלה הסקלרᐧית של וקטורים A, B :

AᐧB = 5ᐧ7ᐧcos45⁰ = 24.75
 
חישוב מכפלה סקלרית  באמצעות רכיבים

לעיתים נתונים לנו רכיבי הוקטורים בכיווני הצירים. במצב זה רכיבי הצירים של המכפלה הסולרית שווה למכפלות רכיבי הצירים של הוקטורים בהתאמה.

דוגמא 
נתון וקטור P עם רכיב 5 יחידות בכיוון ציר x ורכיב 4 יחידות בכיוון ציר y :
P = 5i + 4j

נתון וקטור Q :
Q = 8i + 2j

וקטורים P, Q במערכת צירים

א. מה המכפלה הסקלרית של P ב- Q
ב. מה הזוית ⍺ בין P ל- Q

פתרון
א.
רכיב x של המכפלה הסקלרית של P ב- Q הוא מכפלת רכיבי x  של P ו- Q.
רכיב y של המכפלה הסקלרית של P ב- Q הוא מכפלת רכיבי y  של P ו- Q.

לכן המכפלה הסקלרית של P ב- Q:

PᐧQ = (5i + 4j)ᐧ(8i + 2j)

PᐧQ = 5ᐧ8 + 4ᐧ2 

PᐧQ = 48

ב. מציאת הזוית ⍺  בין P ל- Q

הגדרנו מכפלה סקלרית של וקטורים כמכפלת גודלם בקוסינוס הזוית ביניהם. לכן נכפיל את גדלי P, Q בקוסינוס הזוית ביניהם, נשווה לתוצאה המכפלה הסקלרית 48 שחישבנו ב- א ע"פ הרכיבים ונחלץ את הזוית ⍺ .
Q = 8i + 2j
P = 5i + 4j

גודלו של Q:

( sqrt - שורש ריבועי)

Q| = sqrt(8² + 2²) = sqrt(68) = 8.246|

גודלו של P: 

P| = sqrt(5² + 4²) = sqrt(41) = 6.403|

המכפלה הסקלרית בין הוקטורים P, Q היא: