א. מציאת זוית ⍺
1: נקודה E היא מפגש חוצי הזויות לכן זויות EBC, ECB שוות, ולכן EC = EB.
נתבונן במשולש BDE נמצא את הזויות בו ונפעיל משפט סינוסים.
2:
- BE חוצה זוית ABC השווה ל- 2⍺ - נתון
3: 
- זוית חיצונית למשולש EBC שווה לסכום שתי הזויות EBC, ECB שאינן צמודות לה.
4:
- נובע מ- 2,3 ומהמשפט שסכום זויות במשולש הוא 180 מעלות.
נפעיל משפט סינוסים במשולש BDE
נפתח ונקבל
נציב EC = BE השוויון שהוכחנו ב- 1
ונקבל:
אך נתון:
לכן:
קיבלנו משוואה טריגונומטרית פונקציית סינוס, נפתור:
קיבלנו אינסוף פתרונות, אולם האילוץ כי סכום זויות במשולש ABC הוא 180 מעלות וזוית A קהה (נתון) מוביל אל הפתרון:
ב. מציאת היחס בין רדיוס מעגל חוסם משולש ABC לרדיוס מעגל חסום
נסמן R רדיוס המעגל החוסם משולש ABC, ו- r רדיוס המעגל החסום.
נתבונן במשולשים BEO, ABC
- זוית חיצונית למשולש EBC שווה לסכום שתי הזויות EBC, ECB שאינן צמודות לה.4:
- נובע מ- 2,3 ומהמשפט שסכום זויות במשולש הוא 180 מעלות.נפעיל משפט סינוסים במשולש BDE
נפתח ונקבל
נציב EC = BE השוויון שהוכחנו ב- 1
ונקבל:
אך נתון:
לכן:
קיבלנו משוואה טריגונומטרית פונקציית סינוס, נפתור:
קיבלנו אינסוף פתרונות, אולם האילוץ כי סכום זויות במשולש ABC הוא 180 מעלות וזוית A קהה (נתון) מוביל אל הפתרון:
ב. מציאת היחס בין רדיוס מעגל חוסם משולש ABC לרדיוס מעגל חסום
נסמן R רדיוס המעגל החוסם משולש ABC, ו- r רדיוס המעגל החסום.
נתבונן במשולשים BEO, ABC
 |
| בניית עזר - הורדת אנך מנקודה E לצלע BC בנקודה O |
ע"פ משפט הסינוסים היחס בין צלע במשולש לסינוס הזוית מולה שווה לפעמיים רדיוס המעגל החוסם.
לכן במשולש ABC:
מרכז המעגל החסום במשולש הוא מפגש חוצי הזויות כלומר נקודה E היא מרכז המעגל החסום במשולש ABC. רדיוס המעגל החסום r הוא:
לכן במשולש ABC:
מרכז המעגל החסום במשולש הוא מפגש חוצי הזויות כלומר נקודה E היא מרכז המעגל החסום במשולש ABC. רדיוס המעגל החסום r הוא:
5: r = EO = BE ᐧ sin⍺
נמצא הקשר בין BE ל- BC.
נקודה O היא אמצע BC לכן:
נציב את BE במשוואה 5 ונקבל:
היחס בין רדיוס מעגל חוסם משולש ABC לרדיוס מעגל חסום:
ג. מציאת אורך הקטע AE
היחס בין רדיוס מעגל חוסם משולש ABC לרדיוס מעגל חסום:
נתון בסעיף ג כי: R-r=2
נחשב את רדיוס המעגל החוסם ומכאן נוכל לחשב כל גודל במשולש.
נחשב את CO:
נחשב את AO:
במשולש AOB מתקיים:
נקודה O היא אמצע BC לכן:
נציב את BE במשוואה 5 ונקבל:
היחס בין רדיוס מעגל חוסם משולש ABC לרדיוס מעגל חסום:
ג. מציאת אורך הקטע AE
היחס בין רדיוס מעגל חוסם משולש ABC לרדיוס מעגל חסום:
נתון בסעיף ג כי: R-r=2
נחשב את רדיוס המעגל החוסם ומכאן נוכל לחשב כל גודל במשולש.
נחשב את CO:
נחשב את AO:
במשולש AOB מתקיים:
AO = CO ᐧ tan2⍺ = 2.545 ᐧ tan400 = 2.1355
מצאנו את AO ויש לנו את EO (רדיוס המעגל החסום) נוכל לחשב את AE. AE ו- EO על אותו קטע AO הואיל ו- AO הוא חוצה זוית A ומאונך לבסיס במשולש שווה שוקיים כמו EO.
AE = AO - CO = 2.1355 - 0.926 = 1.21
אין תגובות:
הוסף רשומת תגובה