שאלה 6
נתונה הפונקציה (f(x) = a⋅sin²x + b⋅cos(4x בתחום 3/k0 ≤ x ≤ 2π.
a ו- b הם פרמטרים.
לפונקציה (f(x יש קיצון בנקודה שבה 3 / x = π. נתון כי b < 0.
לפונקציה (f(x יש קיצון בנקודה שבה 3 / x = π. נתון כי b < 0.
א. הבע באמצעות b (במידת הצורך) את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה (f(x בתחום הנתון, וקבע את סוגן.
ב. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה (f(x בתחום הנתון.
ג. סרטט סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת (f '(x בתחום הנתון.
ד. (1) מצא את הערך של האינטגרל.
ד. (1) מצא את הערך של האינטגרל.
2𝞹/3
∫ f"(x)dx
𝞹/2
(2) בתחום 3/π/2 ≤ x ≤ 2π , הגרף של פונקציית הנגזרת השנייה f"(x) חותך את ציר ה-x בנקודה אחת שבה x = k.
בתחום π/2 ≤ x ≤ k , השטח המוגבל על ידי הגרף של f"(x), על ידי ציר ה-x, ועל ידי הישר x=2𝞹/3, שווה ל-S.
בתחום π/2 ≤ x ≤ k , השטח המוגבל על ידי הגרף של f"(x), על ידי ציר ה-x, ועל ידי הישר x=2𝞹/3, שווה ל-S.
הבע באמצעות S את השטח המוגבל על ידי הגרף של (f "(x , על ידי ציר ה-x ועל ידי הישר 3/x=2π בתחום 3/k ≤ x ≤ 2π. נמק.
הערה : אין צורך למצוא את (f"(x.
הערה : אין צורך למצוא את (f"(x.
נקודות קיצון של פונקציה f(x) ניתן למצוא על ידי השוואת הנגזרת הראשונה ל- 0.
f'(x) = 2a⋅sin(x)cos(x) - 4b⋅sin(4x) = 0
f '(x) = a⋅sin(2x) - 4b⋅sin(4x) = 0
נקודת קיצון x = 𝞹/3
נתון נקודת קיצון אחת נתונה כאשר x = 𝞹/3. כלומר:
f '(𝞹/3) = a⋅sin(2𝞹/3) - 4b⋅sin(4𝞹/3) = 0
a√3 / 2 + b⋅4⋅√3 / 2 = 0
a + 4b = 0
a = -4b
נחשב את ערך הפונקציה בנקודת הקיצון x = 𝞹/3:
f(𝞹/3) = a⋅sin²x + b⋅cos(4x) = a⋅3/4 + b(-1/2) = 3a /4 - b/2 = -3⋅4b/4 - b / 2 = -3.5b
נקודת קיצון ראשונה היא : (𝞹/3 , -3.5b) .
כדי למצוא את סוג נקודת הקיצון (מינימום, מקסימום) נחשב את הנגזרת השניה. אם הנגזרת השניה שלילית בנקודת הקיצון, הנקודה היא מקסימום. אם הנגזרת השניה חיובית בנקודת הקיצון, הנקודה היא מינימום.
f"(x) = 2a⋅ cos(2x) - 16⋅b⋅cos(4x) = -8b⋅cos(2x) - 16b⋅cos(4x)
נציב x = 𝞹/3 :
f"(𝞹/3) = -8b⋅cos(2⋅𝞹/3) - 16b⋅cos(4⋅𝞹/3) = -8b(-0.5) - 16b(-0.5) = 4b + 8b =12b
מאחר ו- b < 0 הביטוי 12b קטן מאפס ולכן הנקודה (𝞹/3 , -3.5b) היא נקודת מקסימום.
נקודת קיצון x = 0
ניתן לראות כי f'(0) = 0 :
f '(0) = a⋅sin(2x) - 4b⋅sin(4x) = a⋅sin(2⋅0) - 4b⋅sin(4⋅0) = 0
לכן הנקודה x = 0 היא נקודת קיצון. נחשב את f(0):
f(0) = = a⋅sin²x + b⋅cos(4x) = = a⋅sin²0 + b⋅cos(4⋅0) = b
הנקודה (b0 , b) היא נקודת קיצון.
נחשב נגזרת שניה f"(0) לבדוק אם זוהי נקודת מינימום או מקסימום:
f"(x=0) = -8b⋅cos(2x) - 16b⋅cos(4x) = -8b⋅cos(2⋅0) - 16b⋅cos(4⋅0) = -24b
מאחר ו- b < 0 הביטוי 24b- גדול מאפס ולכן הנקודה (b0 , b) היא נקודת מינימום.
נקודת קיצון x = 𝞹/2
נבדוק ערך נוסף של x בתחום ההגדרה שלנו: 3/k0 ≤ x ≤ 2π שבו f'(x) = 0:
f '(x) = a⋅sin(2x) - 4b⋅sin(4x) = 0
פונקציית הסינוס מתאפסת כאשר ערכי הארגומנט מכפלות שלמות של 𝞹.
ניתן לראות כי f '(𝞹/2) = 0 .
f '(x) = a⋅sin(2𝞹/2) - 4b⋅sin(4𝞹/2) = a⋅sin(𝞹) - 4b⋅sin(2𝞹) = 0
לכן הנקודה x = 𝞹/2 היא נקודת קיצון. נחשב את f(0):
f(𝞹/2) = = a⋅sin²(𝞹/2) + b⋅cos(2𝞹) = a + b = -4b + b = -3b
הנקודה היא : (𝞹/2 , -3b) היא נקודת קיצון.
נחשב נגזרת שניה f"(𝞹/2) לבדוק אם זוהי נקודת מינימום או מקסימום:
f"(x=𝞹/2) = -8b⋅cos(2𝞹/2) - 16b⋅cos(4𝞹/2) = -8b⋅cos(𝞹) - 16b⋅cos(2𝞹) = 8b - 16b = -8b
מאחר ו- b < 0 הביטוי 8b- גדול מאפס ולכן הנקודה (𝞹/2 , -3b) היא נקודת מינימום.
אין תגובות:
הוסף רשומת תגובה