חקירת פונקציות - אסימפטוטה

 בחקירת פונקציות אנו מתבקשים בדרך כלל להציג הסעיפים:
א. תחום הגדרה
ב. נקודות חיתוך עם הצירים
ג. נקודות קיצון
ד. אסימפטוטות
ה. תחומי עלייה וירידה
ו. תיאור גרפי

בפרק זה נעסוק באסימפטוטה של פונקציה.

אסימפטוטה של פונקציה (ממשית) היא קו ישר המתקרב לגרף הפונקציה באופן כזה שהמרחק ביניהם שואף לאפס כאשר מתרחקים מראשית הצירים לאינסוף.

דוגמא: נתבונן בפונקציה , f(x) = (x - 6) / (x - 3)

אסימפטוטה של פונקציה

 

פונקציה זו אינה מוגדרת עבור x = 3 משום שבנקודה זו המכנה מתאפס. אם נבדוק את ערכי הפונקציה עבור ערכי x קרובים ל- x = 3 , נראה כי ככל ש- x מתקרב לשלוש, המכנה x-3 מתקרב לאפס בעוד שהמונה מתקרב ל- 3-. לפיכך, ערך הפונקציה הולך וגדל (בערכו המוחלט) ושואף לאינסוף או למינוס אינסוף וגרף הפונקציה מתקרב לישר x = 3 . ישר זה נקרא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה.

כמו כן, כאשר x הולך וגדל לכיוון החיובי או לכיוון השלילי ושואף לאינסוף או למינוס אינסוף, גרף הפונקציה מתקרב לישר y = 1 . ישר זה נקרא אסימפטוטה אופקית של הפונקציה.

אסימפטוטה אנכית

אסימפטוטה אנכית של פונקציה מתקבלת כאשר הפונקציה שואפת לאינסוף עבור ערך x כלשהו.
לדוגמא הפונקציה y = 12/(x-2) . כאשר x שואף ל- 2 הפונקציה שואפת לאינסוף ומתקבלת אסימפטוטה אנכית x=2.

אסימפטוטה אופקית

אסימפטוטה אופקית מתקבלת כאשר x שואף לאינסוף הפונקציה שואפת לערך כלשהו.
לדוגמא הפונקציה y = 12/(x-2) . כאשר x שואף לאינסוף הפונקציה שואפת לאפס, לכן מתקבלת אסימפטוטה אופקית y=0.

להלן גרף הפונקציה y = 12/(x-2) בתחום x = -15, 15

גרף הפונקציה y = 12/(x-2) בתחום x = -15, 15