חקירת פונקציות - נקודות קיצון: מינימום ומקסימום

 בחקירת פונקציות אנו מתבקשים בדרך כלל להציג הסעיפים:
א. תחום הגדרה
ב. נקודות חיתוך עם הצירים
ג. נקודות קיצון
ד. אסימפטוטות
ה. תחומי עלייה וירידה
ו. תאור גרפי

בפרק זה נעסוק בנקודות קיצון של פונקציה.

נקודות קיצון הינן נקודות בהן הפונקציה מקבלת מינימום או מכסימום. לפונקציה המתוארת בסקיצה  4 נקודות קיצון. נקודות 1 ו-3 הן נקודות מכסימום, ונקודות 2 ו-4 הן נקודות מינימום.

כפי שניתן לראות בציור, בנקודות קיצון המשיק לגרף הפונקציה מקביל לציר x, כלומר בנקודות אלו f‘(x)=0 .

בנקודות מינימום הפונקציה עוברת מירידה לעלייה, כלומר בנקודות אלה הנגזרת של הפונקציה עולה (גדלה) ולכן בנקודות מינימום f “(x) > 0 . באותו אופן, בנקודות מכסימום הפונקציה עוברת מעלייה לירידה ולכן בנקודות אלו     f''(x) < 0.

פונקציה בעלת 4 נקודות קיצון. נקודות 1 ו-3 הן נקודות מכסימום, ונקודות 2 ו-4 הן נקודות מינימום.

נקודת קיצון	נגזרת ראשונה	נגזרת שניה
מינימום	f’(x) = 0	f’’(x) > 0
מקסימום	f’(x) = 0	f’’(x) < 0

 דוגמא:

 נתונה הפונקציה:

f(x) = 2x³ - 3x² - 36x - 40

מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע מהי נקודת המינימום ומהי נקודת מקסימום.

פתרון

מציאת נקודות הקיצון:

נגזור את הפונקציה ונשווה לאפס:

פתרונות של משוואה ריבועית זו הן x1 = -2 ו- x2 = 3 . נציב בפונקציה המקורית ונמצא את ערכי y בנקודות הקיצון:

 
נקודות הקיצון של הפונקציה הן:

 

(121- , 3)

(4, 2-)

קביעת נקודות מינימום ומקסימום

על מנת לבדוק אם נקודות אלו הן מינימום או מכסימום נגזור פעם שניה ונבדוק את הסימן:
הנגזרת השניה:

f(x) = 2x³ - 3x² - 36x - 40

f '(x) = 6x² - 6x - 36

f "(x) = 12x - 6 = 6(2x - 1)

בנקודה 3 = x1 ן:  f "(3) = 6 ᐧ 5 = 30 > 0  - נגזרת שניה גדולה מאפס לכן x1 נקודת מינימום

בנקודה 2- = x2 ו :  f "(-2) = 6 ᐧ (-5) = -30 < 0  - נגזרת שניה גדולה מאפס לכן x2 נקודת מקסימום.

סיכום: נקודות הקיצון הן (2,4-) מקסימום, (121- , 3) מינימום.

גרף הפונקציה בתחום x = -3, 4

גרף הפונקציה בתחום x = -3, 4