שאלה
נתונה הפונקציה : f(x) = x²ᐧ(x² - 4ᐧa²)
נתונה הפונקציה : f(x) = x²ᐧ(x² - 4ᐧa²)
א.מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים.
ב.מצא נקודות קיצון.
ג.שרטט גרף עבור a = 1.
פתרון
א. נקודות חיתוך עם הצירים
חיתוך עם ציר y : בנקודת החיתוך עם ציר y מתקיים כאשר x = 0 וערך הפונקציה מתקבל ע"י הצבת x = 0 במשוואת הפונקציה – y = f(0) .
כלומר נקודת החיתוך עם ציר y היא: ((0)f ,ן0)
נחשב:
חיתוך עם ציר x : בנקודות החיתוך עם ציר x מתקיים y = 0 וערך ה- x בנקודות אלו מתקבל מפתרון המשוואה f(x) = 0.
ב.מצא נקודות קיצון.
ג.שרטט גרף עבור a = 1.
פתרון
א. נקודות חיתוך עם הצירים
חיתוך עם ציר y : בנקודת החיתוך עם ציר y מתקיים כאשר x = 0 וערך הפונקציה מתקבל ע"י הצבת x = 0 במשוואת הפונקציה – y = f(0) .
כלומר נקודת החיתוך עם ציר y היא: ((0)f ,ן0)
נחשב:
f(x) = x²ᐧ(x² - 4ᐧa²)
f(0) = 0²ᐧ(0² - 4ᐧa²) = 0
f(0) = 0
נקודת חיתוך עם ציר y היא: (0,0)
חיתוך עם ציר x : בנקודות החיתוך עם ציר x מתקיים y = 0 וערך ה- x בנקודות אלו מתקבל מפתרון המשוואה f(x) = 0.
נפתור המשוואה f(x)=0
f(x) = x²ᐧ(x² - 4ᐧa²)
x²ᐧ(x² - 4ᐧa²) = 0
x²ᐧ(x - 2a)(a + 2a) =0
x1 = 0
x2 = 2a
x3 = -2a
נקודות חיתוך עם ציר x:
(0,0)
(2a,0)
(2a,0-)
ב. נקודות קיצון
בנקודות קיצון המשיק לגרף הפונקציה מקביל לציר x, כלומר בנקודות אלו f‘(x)=0 . בנקודות מינימום הפונקציה עוברת מירידה לעלייה, כלומר בנקודות אלה הנגזרת של הפונקציה עולה (גדלה) ולכן בנקודות מינימום f “(x) > 0 . באותו אופן, בנקודות מכסימום הפונקציה עוברת מעלייה לירידה ולכן בנקודות אלו f“(x)<0.
נחשב נקודות קיצון ע"י הצבת f'(x)=0
מציבים ערכי x של נקודות הקיצון שקיבלנו ב- f(x) ומקבלים את שיעורי y של נקודות הקיצון:
למציאת אם נקודת הקיצון היא נקודת מינימום או מקסימום נציב את הערך x שקיבלנו בנגזרת השניה. אם הנגזרת השניה גדולה מאפס אזי זוני נקודת מינימום, ואם ערך הנגזרת השניה קטן מאפס זוהי נקודת מקסימום.
מכאן הנקודה (0,0) היא נקודת מקסימום
והנקודות
נקודות מקסימום.
ג. תאור גרפי של הפונקציה עבור a = 1
מציבים a = 1 ומקבלים:
הפונקציה היא: f(x) = x²ᐧ(x² - 4)
נקודות חיתוך עם הצירים
(0,0)
(2,0)
(2,0-)
נקודת מקסימום: (0 ,0)
שתי נקודות מינימום: (4- , 2√-) , (4- , 2√)
גרף הפונקציה בתחום: x= -3,3
(0,0)
(2a,0)
(2a,0-)
ב. נקודות קיצון
בנקודות קיצון המשיק לגרף הפונקציה מקביל לציר x, כלומר בנקודות אלו f‘(x)=0 . בנקודות מינימום הפונקציה עוברת מירידה לעלייה, כלומר בנקודות אלה הנגזרת של הפונקציה עולה (גדלה) ולכן בנקודות מינימום f “(x) > 0 . באותו אופן, בנקודות מכסימום הפונקציה עוברת מעלייה לירידה ולכן בנקודות אלו f“(x)<0.
נחשב נקודות קיצון ע"י הצבת f'(x)=0
מציבים ערכי x של נקודות הקיצון שקיבלנו ב- f(x) ומקבלים את שיעורי y של נקודות הקיצון:
למציאת אם נקודת הקיצון היא נקודת מינימום או מקסימום נציב את הערך x שקיבלנו בנגזרת השניה. אם הנגזרת השניה גדולה מאפס אזי זוני נקודת מינימום, ואם ערך הנגזרת השניה קטן מאפס זוהי נקודת מקסימום.
מכאן הנקודה (0,0) היא נקודת מקסימום
והנקודות
נקודות מקסימום.ג. תאור גרפי של הפונקציה עבור a = 1
מציבים a = 1 ומקבלים:
הפונקציה היא: f(x) = x²ᐧ(x² - 4)
נקודות חיתוך עם הצירים
(0,0)
(2,0)
(2,0-)
נקודת מקסימום: (0 ,0)
שתי נקודות מינימום: (4- , 2√-) , (4- , 2√)
גרף הפונקציה בתחום: x= -3,3
 |
| גרף הפונקציה עבור a=1 |
אין תגובות:
הוסף רשומת תגובה