שאלה
נתונה הפונקציה f(x) = ln(-x2 + ax) , שתחום ההגדרה שלה הוא a>x>0 .
a > 0 הוא פרמטר.
ידוע כי לפונקציה f(x) יש נקודת קיצון.
א. הראה כי שיעור ה - x של נקודת הקיצון של הפונקציה f(x) הוא a/2 .
נתון כי שיעור ה- y של נקודת הקיצון של הפונקציה f(x) הוא ln(2.25) .
ב. מצא את a.
הצב a = 3 במשוואת הפונקציה f(x) ובתחום ההגדרה שלה, וענה על סעיפים ג-ד.
ג. קבע את סוג נקודת הקיצון של הפונקציה f(x).
ד. (1) מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם ציר ה-x.
בתשובתך השאר 2 ספרות אחרי הנקודה העשרונית.
(2) מצא את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה f(x) המאונכות לציר x.
(3) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
פתרון
a > 0 הוא פרמטר.
נדרש להוכיח כי f(a/2) היא נקודת קיצון.
נמצא נקודת קיצון של f(x) על ידי פתרון המשוואה: f'(x) = 0 .
f'(x) = (-2x + a) / (-x² + ax) = 0
f'(x) = (-2x + a) / [x(-x + a)] = 0
המכנה חיובי וגדול מאפס מאחר ו- a>x>0 , a>0 .
ולכן:
-2x + a = 0
x = a /2
נחשב את f(a / 2) :
f(a / 2) = ln[-(a/2)2 + a(a/2)] = ln(-a²/4 + a²/2) = ln(a²/4)
f(a / 2) = ln(a²/4)
שיעור נקודת הקיצון הוא: ( a / 2 , ln(a²/4) ).
ב. מציאת הפרמטר a
נתון ערך מספרי לשיעור נקודת הקיצון: f(a/2) = ln(2.25)
מכאן: a² / 4 = 2.25
a² / 4 = 2.25
a² = 9
a = ±3
הפתרון a = -3 נפסל בגלל התנאי a > 0 .
לכן הפתרון הוא a = 3
ג. סוג נקודת הקיצון:
בסעיף א מצאנו כי שיעור נקודת הקיצון הוא: ( a / 2 , ln(a²/4) ). נציב a = 3 ונקבל שיעור נקודת קיצון:
( a / 2 , ln(a²/4) = (3 / 2 , ln(3² / 4) = (1.5, ln(2.25))
נבדוק ערכי f(x) עבור ערכי x השווים 1.6 , 1.4 .
f(1.4) = ln(-1.42 + 3*1.4) = ln(2.24)
f(1.6) = ln(-1.62 + 3*1.6) = ln(2.24)
ניתן לראות כי הנקודה x = 1.5 היא נקודת מקסימום משום שערכי f(x) בנקודות לידה קטנות יותר.
לכן סוג נקודת הקיצון של f(x) הוא מקסימום.
ד. (1) . נקודות חיתוך של f(x) עם ציר x.
למציאת נקודות חיתוך של f(x) עם ציר x נציב f(x) = 0:
f(x) = ln(-x2 + 3x) = 0
-x2 + 3x = e^0 = 1
x2 - 3x + 1 = 0
נקודות חיתוך הפונקציה עם ציר x:
x1 = 2.61
x2 = 0.38
ד. (2). משוואת אסימפטוטות של הפונקציה המאונכות לציר x
נרשום את הפונקציה: f(x) = ln(-x2 + 3x) .
הפונקציה f(x) שואפת למינוס אינסוף כאשר הביטוי בתוך הלוג שואף ל- 0. כלומר כאשר:
-x2 + 3x = 0
x(x - 3) = 0
x1 = 0
x2 = 3
משוואת אסימפטוטות של הפונקציה המאונכות לציר x הן: x = 0 , x = 3.
ד. (3) . סקיצה של גרף הפונקציה :
תחום ההגדרה של הפונקציה הוא. בין 0 ל- 3.
לפונקציה נקודות חיתוך עם ציר x בנקודות : 2.61 , 0.38.
משוואת אסימפטוטות של הפונקציה המאונכות לציר x הן: x = 0 , x = 3.
 |
| סקיצה של גרף הפונקציה f(x) = ln(-x2 + 3x) |
אין תגובות:
הוסף רשומת תגובה