א.
(1) הוכח כי לכל מספר מרוכב z מתקיים z ᐧ ẕ = |z|² . (הסימון ẕ הוא z משלים)
(2) הוכח כי אם המספר המרוכב z נמצא על מעגל היחידה אז גם המספר I1/z נמצא על מעגל היחידה.
הוכחה:
נפתח את מכפלת המספר המרוכב z במשלים שלו:
נניח כי z = a + bi
מאחר ו- z על מעגל היחידה מתקיים:
ב(1). הראה שעבור כל מספר מרוכב הנמצא על מעגל היחידה, הסכום: z + 1/z הוא מספר ממשי.
נניח כי z = a + bi הוא מספר מרוכב על מעגל היחידה. לפיכך z| = 1|
ב(2). z1 ו- z2 הם שני מספרים מרוכבים הנמצאים על מעגל היחידה והרכיבים המדומים של z1 ו- z2 הם חיוביים.
נוכיח כי אם z1 + 1/z1 + z2 + 1/z2 > 2 אז z1 ו- z2 נמצאים ברביע הראשון.
בסעיף ב(1) הוכחנו שאם מספר מרוכב z = a + ib נמצא על מעגל היחידה אזי : z + 1/z = z + ẕ = 2a .
(2) הוכח כי אם המספר המרוכב z נמצא על מעגל היחידה אז גם המספר I1/z נמצא על מעגל היחידה.
ב.
(1) הראה כי בעבור כל מספר מרוכב z הנמצא על מעגל היחידה, הסכום z + 1/z הוא מספר ממשי.
(2) z1 ו- z2 הם שני מספרים מרוכבים הנמצאים על מעגל היחידה.
נתון כי הרכיבים המדומים של z1 ו- z2 הם חיוביים.
הוכח כי אם z1 + 1/z1 + z2 + 1/z2 > 2 אז z1 ו- z2 נמצאים ברביע הראשון.
w = 1 ᐧ cis(𝜶) הוא מספר מרוכב. נתון 𝞹 / 2 > 𝜶 > 0 .
נתונה סדרה הנדסית שהאיבר הראשון שלה הוא I1/w והאיבר השני הוא w.
נתון כי סכום 5 האיברים הראשונים בסדרה ההנדסית שווה ל- 0.
ג.
(1) . הבע באמצעות 𝜶 את מנת הסדרה, והסבר מדוע כל איברי הסדרה נמצאים על מעגל היחידה.
(2) . מצא את 𝜶 (מצא את שתי האפשרויות).
פתרון
א(1). נדרש להוכיח שלכל מספר מרוכב z מתקיים: z ᐧ ẕ = |z|²
א(1). נדרש להוכיח שלכל מספר מרוכב z מתקיים: z ᐧ ẕ = |z|²
הוכחה:
נניח z = a + bi כאשר a, b ממשיים.
על פי הגדרה z|² = a² + b²|
נפתח את מכפלת המספר המרוכב z במשלים שלו:
z ᐧ ẕ = (a + ib)(a - ib) =
a² - (ib)² =
a² - i²b² =
a² + b² = |z|²
z ᐧ ẕ = |z|²
א. (2).
נתון כי המספר המרוכב z נמצא על מעגל היחידה, נדרש להוכיח כי I1/zנמצא גם על מעגל היחידה.
נתון כי המספר המרוכב z נמצא על מעגל היחידה, נדרש להוכיח כי I1/zנמצא גם על מעגל היחידה.
נניח כי z = a + bi
מאחר ו- z על מעגל היחידה מתקיים:
z = |ẕ| = 1
a² + b² = 1
נוכיח ש- I1/z | = 1| כלומר המספר המרוכב I1/z נמצא על מעגל היחידה.
הוכחה:
הוכחה:
|1/z| = | ẕ / (z ᐧ ẕ)| =
|(a - ib) / [(a + ib)(a - ib)| =
|(a - ib) / (a² + b²)| =
|(a - ib) / 1| =
|(a - ib)| = 1
לכן אם המספר המרוכב z נמצא על מעגל היחידה , גם I1/zנמצא גם על מעגל היחידה.
ב(1). הראה שעבור כל מספר מרוכב הנמצא על מעגל היחידה, הסכום: z + 1/z הוא מספר ממשי.
נניח כי z = a + bi הוא מספר מרוכב על מעגל היחידה. לפיכך z| = 1|
z + 1/z = z + ẕ / (z ᐧ ẕ) = z + ẕ / |z|
מאחר ו- z נמצא על מעגל היחידה, z| = 1| . לכן:
z + ẕ / |z| = z + ẕ / 1 = z + ẕ
מאחר ו- z = a + ib :
z + ẕ = a + ib + a - ib = 2a
2a הוא מספר ממשי. לכן הסכום: z + 1/z הוא מספר ממשי.
ב(2). z1 ו- z2 הם שני מספרים מרוכבים הנמצאים על מעגל היחידה והרכיבים המדומים של z1 ו- z2 הם חיוביים.
נוכיח כי אם z1 + 1/z1 + z2 + 1/z2 > 2 אז z1 ו- z2 נמצאים ברביע הראשון.
בסעיף ב(1) הוכחנו שאם מספר מרוכב z = a + ib נמצא על מעגל היחידה אזי : z + 1/z = z + ẕ = 2a .
נניח כי
z1 = a1 + ib1
z2 = a2 + ib2
נתון כי:
z1 + 1/z1 + z2 + 1/z2 = 2a1 + 2a2 > 2
a1 + a2 > 1
מאחר ו- z1 ו- z2 הם שני מספרים מרוכבים הנמצאים על מעגל היחידה אזי:
a1 < 1 , a2 < 1
התנאים:
a1 + a2 > 1
a1 < 1
a2 <1
יכולים להתקיים רק כאשר a1 > 0 , a2 > 0 .
נתון כי הרכיבים המדומים של z1 ו- z2 הם חיוביים. כלומר b1 > 0 , b2 > 0.לכן z1 ו- z2 נמצאים ברביע הראשון.
ג. (1) . חישוב מנת הסדרה, ומדוע כל איברי הסדרה נמצאים על מעגל היחידה.
האיבר הראשון בסדרה הוא I1/w והאיבר השני הוא w. לכן מנת הסדרה היא w².
נתון כי:
w = 1 ᐧ cis(𝜶)
w² = cis²(𝜶) = cis(2𝜶)
מנת הסדרה היא cis(2𝜶).
האיבר הראשון בסדרה הוא:
1 / w = ẇ / (w*ẇ) = ẇ /1 = ẇ = cis(-𝜶)
האיבר ה- nי הוא:
cis(-𝜶) * [cis(2𝜶)]^(n-1) = cis(-𝜶) * cis[2(n-1)𝜶] = cis[2(n-1)𝜶 - 𝜶] = cis[(2n-3)𝜶]
| cis[(2n-3)𝜶] | = 1
ניתן לראות כי הערך המוחלט של האיבר ה- nי שווה 1. לכן כל איברי הסדרה נמצאים על מעגל היחידה.
ג. (2) נתון כי סכום 5 האיברים הראשונים בסדרה ההנדסית שווה ל- 0. נחשב את 𝜶.
על פי נוסחת סכום סדרה הנדסית:
Sn = a1(q^n - 1) / (q-1)
כאשר מנת הסדרה q = w² והאיבר הראשון a1 = 1 / w , ומספר האיברים n = 5.
סכום 5 האיברים הוא 0, כלומר:
Sn = a1(q^n - 1) / (q-1) = 0
(q^5 - 1) = 0
w^(10) - 1 = 0
cis(10𝜶) - 1 = 0
cis(10𝜶) = 1
נפתח את cis(10𝜶):
cos(10𝜶) = 1
sin(10𝜶) = 0
השוויונים האלו קורים כאשר:
10𝜶 = 2𝝅k
עבור k טבעי כל עוד 𝞹 / 2 > 𝜶 > 0 .
k= 1 ===> 𝜶 = 0.2𝝅
k= 2 ===> 𝜶 = 0.4𝝅
אין תגובות:
הוסף רשומת תגובה