הוכחת משפט דה מואבר בדרך האינדוקציה

משפט דה מואבר קובע כי לכל מספר ממשי x , ולכל מספר שלם n , מתקיים:

[cos(x) + isin(x)]ⁿ = cos(nx) + isin(nx)

נוכיח את משפט זה מואבר בדרך האינדוקציה.

נבדוק תחילה עבור n=1 :

[cos(x) + isin(x)]¹ = cos(1·x) + isin(1·x) = cos(x) + isin(x)

השיוויון מתקיים עבור
n=1
כעת נוכיח שאם עבור n=k מתקיים:

[cos(x) + isin(x)]^k = cos(kx) + isin(kx)

אזי עבור n = k+1 מתקיים:

[cos(x) + isin(x)]^k+1 = cos[(k+1)x] + isin[(k+1)x]

הוכחה:

[cos(x) + isin(x)]^k+1 = [cos(x) + isin(x)]^k·[cos(x) + isin(x)] =

[cos(kx) + isin(kx)]· _·[cos(x) + isin(x)] = 

cos(kx)cos(x)+isin(x)cos(kx) + isin(kx)cos(x) – sin(kx)sin(x) =

[cos(kx)cos(x) – sin(kx)sin(x)] + i[sin(x)cos(kx) + sin(kx)cos(x)]=

cos[(k+1)x] + isin[(k+1)x]