אלגברה לינארית - מכפלת וקטור בסקלר, וקטור האפס, מכפלה סקלרית

מכפלת וקטור בסקלר

הגדרה: מכפלת וקטור בסקלר הוא וקטור שרכיביו הם כפולות בסקלר של רכיבי הוקטור המוכפל.
כלומר

אם

k ∈ R , u = ( u1 , u2 , u3 , .... un)

אז

ku = (ku1 , ku2 , ku3 .... kun)

דוגמא:

נתון:

v = (-2.1 , 0 , 1) , u = (1, -5.2 , -3)

חשב:

2u - 3v

פתרון

2u - 3v = 2(1, -5.2 , -3) - 3(-2.1 , 0 , 1)  = 

(2 , -10.4 , -6) + (-1)(-6.3, 0 , 3) = 

(2 , -10.4 , -6) + (6.3, 0 , -3) = 

(8 , -13.4 , -9)

וקטור האפס

הגדרה: וקטור האפס הוא וקטור שכל רכיביו הם אפסים. כלומר: (0,0,0,…,0).

מכפלה סקלרית

הגדרה: מכפלה סקלרית של וקטורים ב- R^n היא סכום מכפלות רכיבי הוקטורים המוכפלים בהתאמה.

כלומר:

אם 

v = (v1 , v2 , v3 , .... vn) ,   u = ( u1 , u2 , u3 , .... un)

u * v = u1 * v1 + u2 * v2 + ..... + un * vn  =  ∑ ui * vi

דוגמא:

נתון

v = (-2 , 3 , 6) , u = (1 , 4 , 5)

u * v

u * v =  (-2 , 3 , 6) * (1 , 4 , 5) = (-2) * 1 + 3 * 4 + 6 * 5 = -2 + 12 + 30 = 40

תכונות של מכפלה סקלרית של וקטורים

יהיו u, v , w ∈ R , וקטורים ויהי  r ∈ R סקלר. אז מתקיים:

א. חוק החילוף קומוטטיביות

u * v = v * u

ב. חוק הקיבוץ (אסוציאטיביות) 

(ku) * v = k(u* v)

ג. חוק הפילוג (דיסטריביוטיביות)

(u + v) * w = u * w + v * w