בגרות מתמטיקה 4 יחידות חורף 2019 שאלון ראשון - גיאומטריה אנליטית - מעגל

מתוך בגרות מתמטיקה 4 יחידות חורף 2019 שאלון ראשון - שאלה 2


שאלה
בציור שלפניך נתון מעגל שמרכזו M.

 

ישר העובר בראשית הצירים משיק למעגל בנקודה B (3, 4).

חיברו את מרכז המעגל, M, עם ראשית הצירים, O.

נתון: משוואת הישר OM היא:

 

א. מצא את משוואת הישר  BM.
ב. מצא את משוואת המעגל.
המשך הקטע BM חותך את המעגל בנקודה . C
ג. מצא את שטח המשולש OBC.
העבירו מעגל נוסף כך ש־ OM הוא קוטר שלו.
ד. האם המרכז של המעגל הנוסף נמצא בתוך המעגל שמרכזו M, עליו או מחוצה לו? נמק ופרט את חישוביך.


פתרון

א. משוואת הקטע BM

BM מאונך לקטע OB מאחר ומשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה. לפיכך נחשב שיפוע הקטע OB ומכאן נמצא שיפוע הקטע BM. נקודה B נתונה לנו ולכן נמצא משוואת קטע BM על פי שיפוע ונקודה B.

ב. מציאת משוואת המעגל
למציאת משוואת המעגל נמצא את שיעורי הנקודה M מרכזו , שהיא נקודת חיתוך הישרים OM ,ו- BM.
נמצא גם את רדיוס המעגל על ידי חישוב אורך הקטע BM.
נמצא את משוואת המעגל באמצעות שיעורי מרכזו ורדיוסו.

ג. מציאת שטח המשולש OBC. 

 

מעגל M

 

BC הוא קוטר מאחר והוא מיתר העובר דרך מרכז המעגל M, לכן BC שווה לפעמיים רדיוס המעגל BM =5, לכן BC = 10.


זוית B היא זוית ישרה כי רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה.
הרדיוס BM מאונך למשיק OB בנקודת ההשקה B.
לכן משולש OBC הוא משולש ישר זוית ששיטחו שווה למחצית מכפלת ניצביו, OB, ו- BC.

כל שנותר הוא לחשב את אורך הניצב BO במשולש OBC.
שיעור הנקודה B נתון (4, 3) ושיעור הנקודה O הוא ראשית הצירים (0,0).
לכן:

שטח משולש OBC:



שטח המשולש OBC הוא 25.

ד. OM הוא קוטר המעגל לכן מרכז המעגל על הקטע OM. נקרא למעגל D.
רדיוס מעגל D שווה למחצית קוטרו OM . שיעור הנקודה M שחושב סעיף ב הוא (7,1).
לכן קוטר המעגל D הוא:

ורדיוסו (מעגל D) הוא 3.5.
רדיוס מעגל M כפי שחושב בסעיף ב הוא 5.
מכאן שמרכז מעגל D נמצא בתוך מעגל M כי ריוס מעגל D קטן מרדיוס מעגל M.