הסתברות וקומבינטוריקה - מבגרות מתמטיקה 4 יחידות חורף 2019

מתוך בגרות מתמטיקה 4 יחידות חורף 2019 שאלון ראשון - שאלה 3

שאלה

ל־ 8% בדיוק מחברי מועדון ג'ודו ארצי יש חגורה שחורה.
א. בוחרים באקראי 6 מן החברים במועדון.
(1) מהי ההסתברות שבדיוק ל־ 2 מהם יש חגורה שחורה?
(2) מהי ההסתברות שאין חגורה שחורה לאף לא אחד מן ה־ 6 שנבחרו?

1/5 מן החברים במועדון הם מדריכים, והשאר חניכים.
75% מחברי המועדון שיש להם חגורה שחורה הם מדריכים.
ב. בחרו באקראי חבר מועדון.
מהי ההסתברות שהחבר שנבחר הוא חניך שיש לו חגורה שחורה?
ג. בחרו באקראי חניך חבר במועדון.
מהי ההסתברות שיש לו חגורה שחורה?

 פתרון

א. (1) ההסתברות לבחור באקראי 2 חברים עם חגורה שחורה ו- 4 ללא חגורה שחורה

 ההסתברות לבחור באקראי פעם אחת 2 חברים עם חגורה שחורה ו- 4 ללא חגורה שחורה, בהינתן כי ל- 8% מחברי המועדון יש חגורה שחורה היא:  

0.92⁴ ᐧ 0.08²

אולם קיימות מספר חלופות לבחירת 2 חברים עם חגורה שחורה, השווה למספר הצירופים בהם ניתן לסדר 2 חברים בתוך קבוצה של 6. לכן ההסתברות היא:

0.92⁴ ᐧ  0.08² ᐧ 6! / (2! ᐧ 4!)= 0.06877

א. (2). ההסתברות שאין חגורה שחורה לאף לא אחד מן ה־ 6 שנבחרו

ההסתברות שאין חגורה שחורה לאף לא אחד מן ה־ 6 שנבחרו הוא 

0.92⁶ = 0.6063

ב. ההסתברות שהחבר שנבחר באקראי הוא חניך שיש לו חגורה שחורה

נגדיר מאורע

A - לחבר מועדון יש חגורה שחורה. P(A) = 0.08

Ȧ - לחבר מועדון אין חגורה שחורה. P(Ȧ) = 0.92

B - חבר מועדון הוא מדריך. P(B) = 0.2

Ḃ - חבר מועדון הוא חניך . P(Ḃ) = 0.8

נתון כי 75% מחברי המועדון שיש להם חגורה שחורה הם מדריכים, כלומר ההסתברות להיות מדריך (B) , בתוך קבוצת אלו בעלי חגורה שחורה (A)  היא:

P(B/A) = 0.75

נדרש למצוא את P(A∩Ḃ) , כלומר ההסתברות שנבחר באקראי מתוך המועדון, יהיה גם חניך, וגם בעל חגורה שחורה.

על פי נוסחת ההסתברות המותנה:

P(B/A) = P(A∩B) / P(A)

P(Ḃ/A) = P(A∩Ḃ) / P(A) = 1 - P(B/A)

נציב:

P(A∩Ḃ) / 0.08 = 1 - 0.75

P(A∩Ḃ)  = 0.02

ההסתברות שהחבר שנבחר באקראי הוא חניך שיש לו חגורה שחורה היא 0.02.

ג. בוחרים באקראי חניך, מה ההסתברות שיש לו חגורה שחורה?

ההסתברות היא : P(A/Ḃ) .

P(A/Ḃ) = P(A∩Ḃ) / P(Ḃ)

בסעיף ב חישבנו: P(A∩Ḃ)  = 0.02

לכן נציב:

P(A/Ḃ) = P(A∩Ḃ) / P(Ḃ) = 0.02 / 0.8 = 0.025