חוצה זוית במשולש ישר זוית - מבגרות מתמטיקה 3 יחידות חורף 2022

מתוך מבחן בגרות מתמטיקה 3 יחידות לימוד חורף 2022 , מספר שאלון 035182.

 

שאלה מספר 5

לפניך משולש ישר זווית ∡BCA = 90^o , ABC (ראה סרטוט).

 D היא נקודה על הצלע  CB .

AD חוצה את  CAB∡ .

נתון:  CAB = 58^o∡

12 ס"מ = . AD

א. מצא את אורך הצלע  AC .

ב. מצא את אורך הצלע  BC .

ג. מצא את היקף המשולש ABC.

 

פתרון שאלה 5

א. מציאת אורך הצלע AC.

נתבונן במשולש ACD.

1) AD חוצה את זוית CAB  - נתון

2)  CAB=58^o∡ - נתון

3) מכאן    CAD = 29^o∡ -נובע מ- 1) ו- 2).

4) זוית C ישרה - נתון, זוית משותפת למשולשים ABC, ADC.

5) מכאן שמשולש ADC:

AC = AD ᐧ cos( ∡CAB )  = 12 * cos(29^o) = 10.495

 

ב. מציאת את אורך הצלע  BC

 נתבונן במשולש ABC.

AC = 10.495 - חושב בסעיף א

  CAB=58^o∡   -  נתון

במשולש ABC:

tan(∡CAB) = BC / AC

נציב :

tan(58^o) = BC/10.495

1.600 = BC / 10.495

BC = 1.6 ᐧ 10.495 = 16.79

 

ג. מציאת היקף המשולש ABC.

משולש ABC הוא משולש ישר זווית (נתון זווית BAC ישרה). אורכי הניצבים AC, BC חושבו בסעיפים א,ב.

למציאת היקף המשולש ABC נחשב את אורך היתר AB באמצעות משפט פיתגורס, ונסכם את אורכי הניצבים והיתר לחישוב ההיקף.

על פי משפט פיתגורס , במשולש ישר זוית סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר. כלומר במשולש ישר זווית ABC מתקיים:

AC² + BC² = AB²

נציב ונקבל:

10.495² + 16.76² = AB²

110.14 + 281.9 = AB²

392.04 = AB²

AB = 19.8

 ההיקף P של משולש ABC הוא סכום צלעותיו, הניצבים AC, BC והיתר AB, כלומר:

P = AB + BC + AC = 19.8 + 16.79 + 10.495 = 47.085