בעיית מהירות - מבגרות מתמטיקה 4 יחידות חורף 2022

 מבחן בגרות מתמטיקה 4 יחידות חורף 2022 - שאלון ראשון

 שאלה 1

1 . אורי ודוד רצו לאורך מסלול ישר AB . כל אחד מהם רץ במהירות קבועה.
ביום ראשון הם התחילו לרוץ יחד מאמצע המסלול AB:

אורי רץ מאמצע המסלול לנקודה B , ואילו דוד רץ מאמצע המסלול לנקודה A.

אורי הגיע לנקודה B אחרי 40 דקות, ודוד הגיע לנקודה A אחרי שעה.

נסמן ב־ x את המהירות של דוד (בקמ"ש).

א. הבע את המהירות של אורי באמצעות . x

ביום שני הם התחילו לרוץ יחד מנקודה C הנמצאת על המסלול AB:

אורי רץ מן הנקודה C לנקודה B , ואילו דוד רץ מן הנקודה C לנקודה A.

אורך AC הוא 4.5 ק"מ.

אורי הגיע לנקודה B חצי שעה אחרי שדוד הגיע לנקודה A.

כל אחד מהם רץ באותה המהירות שבה הוא רץ ביום ראשון.

ב. מצא את אורך המסלול AB.

פתרון שאלה 1

א. מהירותו של אורי.

תחילה נבדוק את המרחקים הזהים שעברו דוד ואורי השווים למחצית AB.

מהירותו של דוד היא x (נתון) והוא רץ במשך 1 שעה מאמצע המסלול לנקודה A.

 לכן המרחק שעבר הוא: 1*x = x. מכאן שאורך המסלול AB הוא 2x.

זהו גם המרחק שעבר אורי מאמצע המסלול לנקודה B במשך 40 דקות (או 40/60 שעה = 2/3 שעה).

מכאן שאורי עבר מרחק x (ק"מ) במשך 2/3 שעה. לכן מהירות של אורי היא:

 x/(2/3) = 3x/2 = 1.5x

מהירותו של אורי היא 1.5x .

ב. אורך המסלול AB

מנתוני סעיף א , אורך המסלול AB הוא 2x. 

הנתונים בסעיף א ו-ב מופיעים בטבלה להלן.

	מהירות	דרך	זמן
דוד	x	4.5	4.5/x
אורי	1.5x	2x - 4.5	(2x-4.5)/1.5x

על פי נתוני סעיף ב: "אורי הגיע לנקודה B חצי שעה אחרי שדוד הגיע לנקודה A".

כלומר: 

 (2x - 4.5) / (1.5x) - 4.5/x = 1/2

נפתור ונמצא את x:

(2x-4.5)/1.5  - 4.5 = x/2

נכפיל האגפים ב - 3:

3(2x - 4.5)/1.5  - 3*4.5 = 3x/2

2(2x - 4.5) - 13.5 = 1.5x

4x - 9 - 13.5 = 1.5x

2.5x = 22.5

x =  9

אורך המסלול AB הוא 2x , לכן אורך המסלול AB הוא 18.