שאלה
בסדרה חשבונית מספר זוגי של איברים. סכום האיברים במקומות האי זוגיים הוא 150. וסכום האיברים במקומות הזוגיים הוא 174.
כמו כן ידוע שהאיבר האחרון בסדרה גדול מהאיבר הראשון ב - 44.
מצאו את:
1. הפרש הסדרה.
2. מספר איברי הסדרה.
פתרון
הסדרה הגדולה (כוללת במקומות זוגיים ואי זוגיים)
a1 - האיבר הראשון
d - הפרש הסדרה
n - מספר האיברים בסדרה.
האיבר האחרון בסדרה גדול מהאיבר הראשון ב - 44, לכן;
an - a1 = 44
a1 + d(n - 1) - a1 = 44
משוואה 1
d(n - 1) = 44
סדרת האי זוגיים
A1 = a1 - האיבר הראשון
D = 2d - הפרש סדרת האי זוגיים
N = n/2 - מספר האיברים בסדרת האי זוגיים.
סכום סדרת האי-זוגיים:
Sn = 150
Sn = [2A1 +D(N-1)]N/2
Sn = [2a1 +2d(n/2-1)]n/2/2
משוואה 2:
Sn = [a1 +dᐧ(n/2-1)]n/2 = 150
סדרת הזוגיים
A1 = a1 + d - האיבר הראשון
D = 2d - הפרש סדרת האי זוגיים
N = n/2 - מספר האיברים בסדרת האי זוגיים.
סכום סדרת הזוגיים
Sn = 174
Sn = [2A1 +D(N-1)]N/2
Sn = [2(a1+d) +2dᐧ(n/2-1)]n/2/2
משוואה 3:
Sn = [a1+d +dᐧ(n/2-1)]n/2 = 174
קיבלנו שלש משוואות בשלשה נעלמים:
dᐧ(n - 1) = 44
Sn = [a1 +dᐧ(n/2-1)]ᐧn/2 = 150
Sn = [a1+d +dᐧ(n/2-1)]ᐧn/2 = 174
נפחית משוואה שניה משלישית ונקבל:
dᐧn/2 = 174 - 150 =24
dᐧn = 48
מהמשוואה הראשונה:
dᐧ(n - 1) = 44
פותרים ומוצאים:
n = 12
d = 4
[a1 +4(12/2-1)]12/2 = 150
a1 = 5
מצאנו אפוא את הפרש הסדרה (הכוללת) מספר האיברים בסדרה, והאיבר הראשון:
n = 12
d = 4
a1 = 5
אין תגובות:
הוסף רשומת תגובה