טריגונומטריה של המישור - משולשים - בגרות מתמטיקה 4 יחידות קיץ 2023

מבגרות מתמטיקה 4 יחידות קיץ 2023 - שאלון 035481


 שאלה מספר 5

בסרטוט שלפניכם מתוארים שני משולשים:

שני משולשים

משולש ADC שכל זוויותיו חדות, ומשולש שווה שוקיים ABC שבו  BC=BA .

נתון: שטח המשולש ABC הוא 114 ,   

  ABC = 50⁰⦛.

א. מצאו את אורך הצלע  AB.

ב. מצאו את אורך הצלע  AC.

נתון: רדיוס המעגל החוסם את המשולש ADC הוא 8 .

ג. מצאו את גודל הזווית  ADC.

נתון: AD=15 .

ד. מצאו את גודל הזווית CAD .

ה. מצאו את אורך BD .


פתרון שאלה מספר 5

א. אורך הצלע AB

שטח משולש שווה למחצית מכפלת שתי צלעות בסינוס הזווית ביניהן. ניתן בנקל להוכיח זאת.

נסמן אורך כל אחת מהשוקיים השוות במשולש ABC באות a.

כלומר BC = BA = a  .

לכן שטח משולש ABC הוא :

BC * BA *  sin(ABC) / 2  = a * a * sin(50⁰) / 2  = 114

a * a = 148.8

a = 17.25

אורך הצלע AB הוא 17.25 .


ב. אורך הצלע AC

ניתן לחשב את גודל זויות BAC ו- BCA מאחר והן מןנחות מול צלעות שוות BA = BC , וגודל זווית B נתון לנו 50 מעלות : 

BAC = BCA = (180⁰ - 50⁰) / 2 = 65⁰

לפיכך על פי משפט הסינוסים במשולש BAC מתקיים:

AC / sin(B) = AB / sin(BCA)

AC / sin(50⁰) = 17.25 / sin(65⁰)

AC = 17.25 * sin(50⁰) / sin(65⁰) = 14.58 

 אורך הצלע AC הוא 14.58.


ג. מציאת גודל הזווית ADC

נתבונן במשולש ADC

רדיוס המעגל החוסם את משולש ADC הוא R = 8   - נתון מסעיף ג בשאלה.

AC = 14.58 - חישבנו בסעיף ב.


על פי משפט הסינוסים צלע במשולש לחלק בסינוס הזווית שמולה שווה לפעמיים רדיוס המעגל החוסם את המשולש. 

כלומר במשולש ADC מתקיים:

AC /  sin(D) = 2R

14.58 / sin(D) = 2 * 8

sin(D) = 14.58 / 16

D = 65.68⁰

ד. גודל הזווית CAD

במשולש ADC ידועה לנו גודל הזווית ADC (זווית D) :

D = 65.68⁰

נמצא את זווית ACD במשולש ADC על פי אורך הצלע AD = 15 (נתון) מול זווית ACD, ורדיוס המעגל החוסם את משולש ADC הנתון לנו R = 8 (נתון).

על פי משפט הסינוסים במשולש ADC

AD / sin(ACD) = 2R

15 /  sin(ACD) = 16

sin(ACD) = 15 / 16

ACD = 44.68⁰

ה. אורך BD

נמצא את BD לפי משפט הקוסינוסים במשולש ABD.

נשתמש בנתונים ומה שחישבנו בסעיפים קודמים:

AD = 15 - נתון

AB = 17.85 - מצאנו בסעיף א.

 BAD = BAC+ DAC

  BAD = 65⁰ + 44.68⁰

 BAD = 109.68⁰

 

לפי משפט הקוסינוסים במשולש BAD:

BD² = AD² + AB² - 2*AB*AD*cos(BAD)

BD² = 15² + 17.25² - 2*15*17.25*cos(109.68)

BD = 26.39


אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה