חצי מעגל חסום במשולש ישר זוית

שאלה

במשולש ישר-זווית A = 90 ( ABC )⦠ חסום חצי מעגל שמרכזו M הנמצא על הצלע AB .

הצלע AC משיקה לחצי המעגל בנקודה A והצלע BC משיקה לחצי המעגל בנקודה D (ראו סרטוט).

אורך רדיוס המעגל הוא R .

א. סמנו: BM = x ובטאו בעזרת R את הערך של x עבורו שטח המשולש ABC מינימלי.
ב. כאשר שטח המשולש ABC מינימלי, שטח המרובע ACDM הוא 3√25 . מצאו את R .

פתרון

נסמן את x  ואת  R בשרטוט:

משולשים BDM, ABC דומים. לכן:

sqrt - שורש ריבועי.

AC / AB = MD / BD

AC / (x + R) = R / sqrt(x² - R²)

AC = R*(x + R) /  sqrt(x² - R²)

שטח המשולש S:

S = AC ᐧ AB / 2

S = 1/2 * Rᐧ (x + R)^2 /  sqrt(x² - R²)

נגזור את S לפי x לבדוק עבור אילו ערכים של x  מתקבל ערכים מינימלי ( או מקסימלים) ל- S

נמחק ביטויים קבועים (שאינם משתנה x)  משום שהם מצטמצמים, קיבלנו:

f(x) = (x + R)² /  sqrt(x² - R²)

f '(x) = [2(x + R) * sqrt(x² - R²) - x(x + R)² / sqrt(x² - R²)] / (x² - R²)

2(x + R) ᐧ sqrt(x² - R²) - x(x + R)²/sqrt(x² - R²) = 0

2sqrt(x² - R²) - x(x + R)/sqrt(x² - R²) = 0

2(x² - R²) = x(x + R)

2(x + R)(x - R) = x(x + R)

2(x - R) = x

2x - 2R = x

x = 2R

ב. מציאת R

שטח המרובע ACDM הוא הפרש שטחי המשולשים ABC ו- BDM:

נרשום צלעות המשולשים:

x = 2R
AB = x + R = 3R
AC = AC = R*(x + R) / sqrt(x² - R²) = 3R² / (R√3) = R√3
BD = sqrt(x² - R²) = sqrt(3R²) = R√3
DM = R


S_ADCM = S_ABC  - S_BDM  = AB ᐧ AC / 2 - BD * DM /2 = 3R ᐧ R√3 / 2 - R√3 ᐧ R / 2 = 25√3


S_ADCM  = 3√3 / 2 ᐧ R² - R²√3/2 = R²√3 = 25√3
R² = 25

R = 5