הנקודות C , B , A ו- D נמצאות על היקפו של מעגל . נתון :
AE = k , CAD = 20° , BAD = α , AB|| CD .
2) הביעו באמצעות k ו- α את אורכי הקטעים AB ו- CD.
ב. נתון: שטח המשולש ABE גדול פי 6.41147 משטח המשולש CDE . נתון: 20° < α . חישבו את α.
ג. אורך התיכון לצלע CD במשולש ACD הוא 22.44 . מצאו את k .
פתרון
א. 1)הבעת באמצעות α את זוויות המשולש ACE
מחשבים את כל הזוויות במשולשים תוך שימוש במקבילות הקטעים AB|| CD, ושימוש בזוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת במעגל שוות.
1. זווית BAD ז= 𝜶 - נתון
2. זווית BCA ז= 𝜶 - נשענת על אותה קשת BD כמו זווית BAD ז= 𝜶
3. זווית ABC ז= 𝜶 - פנימית מתחלפת עם זווית BCA ז= 𝜶 .
4. סכום זוויות במשולש ABC שווה: 𝜶 + 𝜶 + 20° + β = 180°
5. β = 160° - 2𝜶 = זווית ACE
6. AEC = 180° - β - 20° = 160° - (160° - 2𝜶) = 2𝜶 זווית
א. 2) הביעו באמצעות k ו- α את אורכי הקטעים AB ו- CD.
נשרטט שוב המעגל עם הנתונים
משולש ABE שווה שוקיים AE = BE - זוויות בסיס שוות 𝜶.
ב.ע - מורידים גובה EO החוצה גם את הבסיס כך ש: AO = BO (גובה במש״ש חוצה את הבסיס).
OA = AEᐧ sin𝜶 = kᐧcos𝜶
AB = 2ᐧOA = 2kᐧcos𝜶
באותה דרך נחשב את CD , אך קודם נחשב את CE לפי משפט הסינוסים במשולש ACE/
CE / sin 20° = AE / sin β
CE / sin 20° = k / sin(160° - 2𝜶)
CE = k ᐧ sin 20° / sin(160° - 2𝜶)
CD = 2 ᐧ CE ᐧ cos𝜶 = 2k ᐧ sin 20° ᐧ cos𝜶 / sin(160° - 2𝜶)
ב. חישוב 𝜶
הזוויות במשולשים ABE, CDE שוות ולכן המשולשים דומים.
לכן היחס בין צלעות המשולשים ABE, CDE הוא (6.41147)√ = 2.532
לכן:
AB / CD = 2.532
AB / CD = 2kᐧcos𝜶 / [2k ᐧ sin 20° ᐧ cos𝜶 / sin(160° - 2𝜶)]
AB / CD = 2kᐧcos𝜶 ᐧ sin(160° - 2𝜶) / 2k ᐧ sin 20° ᐧ cos𝜶
AB / CD = sin(160° - 2𝜶) / sin 20° = 2.532
sin(160° - 2𝜶) = 0.866
160° - 2𝜶 = 60°
𝜶 = 50°
אין תגובות:
הוסף רשומת תגובה