הוכח: אם מנקודה שמחוץ למעגל יוצאים שני משיקים למעגל, אז הקטע המחבר את מרכז המעגל עם הנקודה שממנה יוצאים שני המשיקים חוצה את הזווית שבין המשיקים.


שני משיקים מנקודה שמחוץ למעגל והקטע המחבר את מרכז המעגל עם הנקודה
שני משיקים מנקודה שמחוץ למעגל והקטע המחבר את מרכז המעגל עם הנקודה
נתון 
מעגל שמרכזו הנקודה O
AC משיק למעגל O בנקודה A
BC משיק למעגל O בנקודה B
OC - הקטע המחבר את מרכז המעגל O עם הנקודה C שממנה יוצאים שני המשיקים.

צריך להוכיח

זוית OCA (זוית C1) = זוית OCB (זוית  C2)

הוכחה

שיטת ההוכחה
בונים בניית עזר הרדיוסים OA, OB, והקטע OC וחופפים משולשים AOC, BOC ע"פ משפט חפיפה רביעי. מהחפיפה נובע כי הזויות C1, C2 שוות.

בניית עזר
בונים בניית עזר הרדיוסים OA, OB, והקטע OC

חפיפת משולשים AOC, BOC
1: AB = BO - רדיוסים במעגל O - ראה בניית עזר
2: CO = CO - צלע משותפת
3: זוית OAC = זוית OBC = 90 מעלות - זויות בין הרדיוסים OA, OB למשיקים CA, CB בהתאמה שוות 90 מעלות.

מכאן:
משולשים AOC, BOC חופפים - נובע מ- 1,2,3 ע"פ משפט חפיפה רביעי

מהחפיפה נובע: זוית C1 = זוית C2

מ.ש.ל

אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה