פתרון שאלה 5 - בגרות מתמטיקה 5 יח' - חורף 2016 - גיאומטריה וטריגונומטריה

מתוך מבחן בגרות מתמטיקה 5 יחידות חורף 2016

שאלה מספר 5


פתרון שאלה 5

א. מציאת זוית

 1: נקודה E היא מפגש חוצי הזויות לכן זויות EBC, ECB שוות, ולכן EC = EB.


נתבונן במשולש BDE נמצא את הזויות בו ונפעיל משפט סינוסים.
2:      - BE חוצה זוית ABC השווה ל- - נתון
3:    - זוית חיצונית למשולש EBC שווה לסכום שתי הזויות EBC, ECB שאינן צמודות לה.

4:    - נובע מ- 2,3 ומהמשפט שסכום זויות במשולש הוא 180 מעלות.


נפעיל משפט סינוסים במשולש BDE


נפתח ונקבל



נציב EC = BE השוויון שהוכחנו ב- 1
ונקבל:


אך נתון:

לכן:



קיבלנו משוואה טריגונומטרית פונקציית סינוס, נפתור:



קיבלנו אינסוף פתרונות, אולם האילוץ כי סכום זויות במשולש ABC הוא 180 מעלות וזוית A קהה (נתון) מוביל אל הפתרון:


ב. מציאת היחס בין רדיוס מעגל חוסם משולש ABC לרדיוס מעגל חסום
נסמן R רדיוס המעגל החוסם משולש ABC, ו- r רדיוס המעגל החסום.
נתבונן במשולשים BEO, ABC
בניית עזר - הורדת אנך מנקודה E לצלע BC בנקודה O
ע"פ משפט הסינוסים היחס בין צלע במשולש לסינוס הזוית מולה שווה לפעמיים רדיוס המעגל החוסם.
לכן במשולש ABC:




מרכז המעגל החסום במשולש הוא מפגש חוצי הזויות כלומר נקודה E היא מרכז המעגל החסום במשולש ABC. רדיוס המעגל החסום r הוא:
5:

נמצא הקשר בין BE ל- BC.
נקודה O היא אמצע BC לכן: 
נציב את BE במשוואה 5 ונקבל:


היחס בין רדיוס מעגל חוסם משולש ABC לרדיוס מעגל חסום:



ג. מציאת אורך הקטע AE
היחס בין רדיוס מעגל חוסם משולש ABC לרדיוס מעגל חסום:


נתון בסעיף ג כי: R-r=2
נחשב את רדיוס המעגל החוסם ומכאן נוכל לחשב כל גודל במשולש.
 

נחשב את CO:


נחשב את AO:
במשולש AOB מתקיים:


מצאנו את AO ויש לנו את EO (רדיוס המעגל החסום) נוכל לחשב את AE. AE ו- EO על אותו קטע AO הואיל ו- AO הוא חוצה זוית A ומאונך לבסיס במשולש שווה שוקיים כמו EO.

AE = AO - CO = 2.1355 - 0.926 = 1.21

אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה