משולש ABC חסום במעגל. הצלע BC היא קוטר במעגל.
הנקודה G נמצאת על המשך הצלע CA , כמתואר בסרטוט.
דרך הנקודה C העבירו משיק למעגל, החותך את המשך הצלע BA בנקודה E .
נתון : AC = AG .
נתון : AC = AG .
א. הוכיחו: BG = BC
ב. הוכיחו: זוית ABG = זוית ECA
ג. הוכיחו: משולש ABG ~ משולש ACE
נתון : AB ᐧ AE = 12.25
ד. מצאו את אורך הקטע AC .
פתרון
א. הוכחת BG = BC
נוכיח שוויון BG = BC על ידי חפיפת משולשים : ABC, ABG.
הצלע BC היא קוטר במעגל - נתון.
(1). זוית BAC ישרה - זוית BAC היא זוית היקפית במעגל הנשענת על קוטר BC ולכן ישרה.
(2). זוית BAG ישרה - צמודה לזוית BAC ישרה ולכן ישרה גם היא.
(3) זוית BAG = זוית BAC - שתי זויות ישרות שוות.
(4) AC = AG - נתון.
(5) AB - צלע משותפת
משולש ABG ≌ משולש ABC - נובע מ: 3, ,4, 5.
מהחפיפה נובע: BG = BC
מ.ש.ל
ב. הוכחת: זוית ABG = זוית ECA
(1) EC - משיק למעגל - נתון.
(2) זוית ABC = זוית ECA - זוית בין מיתר (AC) למשיק למעגל (EC בנקודה C), שווה לזוית היקפית (זוית ABG) הנשענת על אותו מיתר (AC).
(3) זוית ABC = זוית ABG - הוכחנו בסעיף א כי משולש ABG ≌ משולש ABC , נובע מהחפיפה.
(4) זוית ABG = זוית ECA - נובע מ- 2,3 לעיל.
מ.ש.ל
ג. הוכחת: משולש ABG ~ משולש ACE
כדי להוכיח דמיון בין המשולשים נוכיח שוויון 2 זויות ביניהם.
(1) זוית CAE = זוית BAG. - קודקודיות
(2) זוית ABG = זוית ECA - הוכח בסעיף ב
(3) משולש ABG ~ משולש ACE - נובע מ- 2, 3 אם בשני משולשים מתקיים שיוויון 2 זויות ביניהם, אזי המשולשים דומים .
מ.ש.ל
ד. מציאת את אורך הקטע AC .
מהדמיון נובע: AC / AE = AB / AG
אך: AG = AC - נתון
לכן : AC / AE = AB / AC
AC^2 = AB * AE = 12.25
AC = 3.5
מ.ש.ל
אין תגובות:
הוסף רשומת תגובה